Mit a=0 kürzt es sich zwar auf den selben Faktor, aber ansonsten nicht. Das Linienelement der Kerr-Metrik in BL-Koordinaten ist
Das wird mit a=0 zur Schwarzschild-Metrik in Schwarzschild-Koordinaten
Wenn du die radiale Strecke willst musst du die Wurzel des roten Terms (g_rr) von r1 bis r2 integrieren, für die poloidiale Strecke die des grünen Terms (g_θθ) von θ1 bis θ2, und für die axiale Strecke die des blauen Terms (g_ФФ) von Ф1 bis Ф2. Wenn die Strecke nicht nur auf einer Achse sondern auf mehreren verläuft oder man den Platz auf einer Fläche bzw. den Inhalt eines Volumens betrachtet muss die gekoppelte Differentialgleichung über alle betroffenen Koordinaten integriert werden.
Edit: Hier ein Beispiel: die radiale Strecke vom Schwarzschildradius r1=rs=2GM/c² bis r2=2.1GM/c², also Δr=0.1, ergibt mit a=0 die physikalische Strecke ΔR=0.901826GM/c²:
und mit a=Jc/G/M²=1 je nach Polwinkel knapp über oder unter ΔR≈0.2GM/c²:
Einbettungsdiagramm:
Das ist im Grunde die selbe Rechnung wie damals im Showdown
Yukterez+Ernst vs Ralf+FB557 (so muss auch Ralf Kannenberg jetzt nicht mehr im Archiv suchen wenn er oder eine seiner
Sockenpuppen sich mal wieder mit
Epsilons blamieren will, sondern hat jetzt wieder einen aktuellen Link). Wenn man also von einer r-Koordinate zur anderen rechnet gilt: je stärker die Rotation, desto geringer die radiale Längenkontraktion, aber desto größer dafür die axiale. Das kommt daher dass der Horizont sich bei steigender Rotation nach hinten verschiebt; rechnen wir also nicht vom Schwarzschildradius r1=rs=2 weg, sondern vom Ereignishorizont r1=rH=1+√(1-a²), dann werden die Δr=0.1 mit steigendem a zu einem sehr viel höherem ΔR. Bei a=1 würde die radiale Strecke bis zum Ereignishorizont sogar unendlich, siehe Bardeen 1972:
was wegen dem
a≤0.998-Limit und der
komischen Zensur in der Natur aber nicht vorkommt. Nichtsdestotrotz plotten wir von a=0 bis a=1:
Einbettungsdiagramm:
Mit dem praktischen Maximum von a=0.998 beträgt die Strecke bis zum Ereignishorizont in diesem Beispiel
Nachrechnend,