https://www.geogebra.org/m/uwz5vQNF
Beim Blick auf die untere Bildhälfte (bei t=0) sehen wir sofort, dass gilt x=x'*k und wenn wir den t-Schieber bewegen haben wir (a) x=x'*k+v*t.
Mit einer ähnlichen Überlegung (obere Ansicht) können wir (b) x'=x*k-v*t' aufstellen
Aus (a) wird (II), aus (b) wird (IV).
Man nehme (a) und (IV) eliminiere x und löse nach t auf, dann hat man (III)
Man nehme (b) und (II) eliminiere x’ und löse nach t’ auf, dann hat man (I)
Nun hat man eine “Allgemeintransformation”. Man setze k = 1 und es kommt die Galileitransformation zum Vorschein.
Jetzt errechnen wir, welches c in K’ registriert wird, wenn man in K bei x = 0 und t = 0 zwei Photonen in entgegengesetzte Riechung schickt. Dazu müssen wir in (II) und (I) x durch c*t (bzw -c*t)ersetzen und (II)/(I) rechnen und wir haben die nächsten beiden Formeln.
Hier kann man schon fast “sehen”, ein konstantes c ergibt sich dann, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
k setzt man nun in die “Allgemeintransformation” und wir haben sie, die LT.
Und nun lassen wir das System S' mit der Geschwindigkeit v gegenüber S bewegen und ein Objekt bewege sich mit der Geschwindigkeit u gegenüber S'. Welche Geschwindigkeit hat das Objekt gegenüber S?
Da brauchen wir nur (IV)/(III) rechnen und erhalten:
Wenn sich nun S' gegenüber S mit der Geschwindigkeit u bewegt und das Objekt wiederum mit u in S' unterwegs ist, dann gilt:
Und nun machen wir folgendes Gedankenexperiment:
http://www.geogebra.org/classic
t=Schieberegler[0, 10, 0.01, 1, 200, false, true, false, false]
A=Wenn(t < 5, (t - 5, 0), (0, 0))
B=Wenn(t < 5, (5 - t, 0), (0, 0))
C=(5 - t, 1)
A und B haben dieselbe (Ruhe)masse. Die Masse von C spielt keine Rolle. Alle drei Objekte bewegen sich zunächst Richtung y-Achse mit der Geschwindigkeit u.
Aus Sicht von C schaut die Sache so aus: B ruht zunächst. A kommt mit der Geschwindigkeit v auf B zu. Nach dem perfekt unelastischen Crash bewegen sich A und B zusammen mit der Geschwindigkeit u weiter. Es sei nun M die relativistische Masse von A und m die Ruhemasse sowohl von A als auch von B. Dann lässt sich folgende Impulsgleichung aufstellen.
Wir haben also nach M aufgelöst um dann wieder auf beiden Seiten mit v multipliziert und benennen das Produkt M*v mit p (Impuls). Damit sind wir die relativistische Masse wieder los geworden.
Und nun knüpfen wir uns die relativistische Geschwindigkeitsverdoppelung noch mal vor und machen auf beiden Seiten Folgendes
1. durch c teilen
2. quadrieren
3. das Vorzeichen wechseln und 1 dazu zählen
4. die Wurzel ziehen
5. den Bruch stürzen.
6. das Ganze mit v multiplizieren.
Und nun multiplizieren wir beide Seiten mit m. Dann steht auf der linken Seite der Impuls vor dem Stoß und auf der rechten nach dem Stoß.
Die Gültigkeit der Näherungslösung kann man auch in "Geogebra" überprüfen. Man gebe ein:
f=1/sqrt(1-x²)
TaylorReihe[f, 0, 2]
Als Ergebnis kriegt ihr 1+x²/2
Nach dem Stoß haben wir also eine thermische Zusatzmasse von m*u²/c² und eine zusätzliche thermische Energie von m*u², wobei gilt:
(thermische Energie)=(thermische Masse)*c².
Dasselbe Gedankenexperiment (allerdings wesentlich umständlicher als bei mir) könnt ihr auch bei Max Born nachlesen.
https://de.wikipedia.org/wiki/Die_Relativitätstheorie_Einsteins#Das_spezielle_Einsteinsche_Relativitätsprinzip
Mittels der relativistischen Additionstheoreme für Geschwindigkeiten und der Analyse des unelastischen Stoßes wird zunächst die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse aufgezeigt und darauf aufbauend die Trägheit der Masse, das heißt die Äquivalenz von Masse und Energie hergeleitet,
Kommen wir nun endlich zu den Myonen.
https://www.geogebra.org/m/ekcndu7u
In der Animation sterben beide Myonen gleichzeitig bei t=t'=x=x'=0 und zwar im selben Alter von Δt=Δt'=3. Doch wann werden die beiden Myonen geboren, wenn sie im selben Alter gleichzeitig sterben?
Stellen wir doch mal t auf -5. Das Myon in S' erblickt das Licht der Welt (t'=-3). Stellen wir t auf -3, so taucht auch in S ein Myon auf. An den blauen timelines lesen wir ab, dass dies bei t'=-5 geschieht. Bei t=t'=0 beenden sie ihr Leben. Das ganze könnt ihr auch oben simulieren.
Langer Rede kurzer Sinn. Wir haben es hier mit einer Vertauschung der zeitlichen Reihenfolge zweier nicht kausaler Ereignisse zu tun.
Das Myon im fremden System wird eher geboren, als das im eigenen System. Deshalb kann es in seiner kurzen Lebensspanne auch einen längeren Weg zurück legen, als man es in der klassischen Physik erwarten würde.