Die Mathematik der HET

Hier werden diverse Äthermodelle diskutiert

Re: Die Mathematik der HET

Beitragvon Trigemina » Sa 27. Jun 2009, 13:43

Hallo Sebastian

Die Geschwindigkeitsadditionen erfolgen grundsätzlich aus zwei hintereinander geschalteten Koordinatentransformationen. Beginnen wir mit Newton, wo wir das Ergebnis v=v1+v2 bereits kennen:

Geschwindigkeitsaddition nach Newton:

Allgemeine Koordinatentransformation nach Newton auf der x-Achse:

x' = x - v*t und t' = t

Vereinfachend können wir x=0 setzen und erhalten für die 1. Koordinatentransformation von S nach S' mit v1:

x' = -v1*t und t' = t


Nun erfolgt die 2. Trafo von S' nach S" mit v2:

x" = x' - v2*t' und t" = t'

Ersetzen von x' und t':

x" = -v1*t - v2*t und t" = t

Ausklammern:

x" = t*(-v1-v2) und t" = t

Geschwindigkeit v" in S":

v" = x" / t"

v" = t*(-v1-v2)/t = -v1-v2

In S beträgt die Geschwindigkeit v:

v = -v" = v1 + v2


Analog die Geschwindigkeitsaddition nach der SRT:


Allgemeine Koordinatentransformation nach Einstein auf der x-Achse:

x' = gamma*(x - v*t) und t' = gamma*(t - v*x/c^2)


Auch hier können wir vereinfachend x=0 setzen und erhalten für die 1. Koordinatentransformation von S nach S' mit v1:

x' = gamma1*(-v1*t) und t' = gamma1*t


Nun erfolgt die 2. Trafo von S' nach S" mit v2:

x" = gamma2*(x' - v2*t') und t" = gamma2*(t' - v2*x'/c^2)


Ersetzen von x' und t':

x" = gamma2*(gamma1*(-v1*t) - v2*gamma1*t)
t" = gamma2*(gamma1*t - v2*gamma1*(-v1*t)/c^2)


Ausklammern:

x" = gamma2*gamma1*t*(-v1-v2)
t" = gamma2*gamma1*t*(1 + v1*v2/c^2)


Geschwindigkeit v" in S":

v" = x"/t" = -(v1+v2) / (1 + v1*v2/c^2)


In S beträgt die Geschwindigkeit:

v = -v" = (v1+v2) / (1 + v1*v2/c^2)


Die beiden Gammafaktoren haben sich herausgekürzt und die Forminvarianz bezüglich Transformation bleibt sowohl nach Newton als auch nach Einstein erhalten.

Gruss
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Re: Die Mathematik der HET

Beitragvon Trigemina » Sa 27. Jun 2009, 16:05

Hallo Chief

Setze ich x=X ein, kürzt es sich (wie t=T) am Schluss bei der Division von v"=x"/t" wieder raus. Das Gleichsetzen von x=0 dient lediglich der Vereinfachung und der besseren Übersicht.

Gruss
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Re: Die Mathematik der HET

Beitragvon Trigemina » So 9. Aug 2009, 19:27

Chief hat geschrieben:Das ist aber, wie man sieht, mathematisch inkorrekt.
Richtig muss es heißen:

x'=(x-vt)*gamma ==> x=(x'/gamma)+vt.


Kuchling hat schon recht. Du darfst für die Rücktransformation nicht einfach x’ = gamma*(x - v*t) nach x auflösen.

Über das invariante Linienelement ds² = c²*t² - dx² = c²*t’² - dx’² mit einer Raumkoordinate dx ergibt sich für die Rücktransformation

x = gamma*(x’ + v*t’)


Gruss
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Re: Die Mathematik der HET

Beitragvon Trigemina » So 9. Aug 2009, 23:21

Chief hat geschrieben:Diese Vorgehensweise ist mathematisch absolut falsch. Physikalisch ist ein "Systemwechsel" ohne Beschleunigung des Beobachters und Verbrauch von Energie ebenfalls unmöglich.


Es geht doch nicht darum einen Beobachter zwischen zwei Bezugssystemen hin und her zu schicken (der natürlich beschleunigen müsste), sondern einen physikalischen Vorgang aus beiden Bezugssystemen zu beschreiben.

Außerdem ds² = c²*dt² - dx² kann durch Substitution dx²+ds² = dς²
zu einer Gleichung der Form: c²dt²-dς²=0 gemacht werden
und die RT ist schon wieder dahin.


Nein, da sich dς² von dς’² unterscheidet, kann diese Gleichung nicht in c²dt²-dς²=0 überführt werden.

Gruss
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Re: Die Mathematik der HET

Beitragvon Trigemina » Mo 10. Aug 2009, 17:28

Chief hat geschrieben:Wenn man das tut, dann kann man (physikalisch) nicht davon ausgehen, dass in beiden Systemen die LG gleich groß ist, weil die Erhaltung der Schwerpunktsbewegung verletzt wäre.

Siehe dazu z.B. (Rückstoß aufgrund von Bewegung des strahlenden Körpers):
Rückstoßimpuls der Strahlung (Poincaré 1900): p_r=(E/c²)*v,
Rückstoßenergie der Strahlung (Einstein 1905): E_r=(E/c²)*v²/2.


Die relativistische Energie berechnet sich allgemein aus

E=sqrt(m^2*c^4+p^2*c^2) mit p=m*v*γ und γ=1/sqrt(1-v^2/c^2)

Diese Gleichung gilt auch für Photonen. Über

v=dE/dp=p*c^2/sqrt(p^2*c^2+m^2*c^4)=c

kann daraus geschlossen werden, dass diese Gleichung nur dann v=c ergibt, wenn der Term

m^2*c^4

verschwindet, was nur mit der Ruhemasse von m=0 möglich ist.

Sie müssen (dürfen) gar nicht gleich sein, weil x'=x-vt und dx'=dx-v*dt=(c-v)*dt=c*dt' ist.
Aber in beiden Fällen erhält man (aus c²dt²-dς²=0 bzw. c²dt'²-dς'²=0):
dς/dt=c und dς'/dt'=c
weil für eine kürzere Strecke, bei der gleichen LG weniger Zeit benötigt wird.
Das bedeutet, es existiert nur ein Bezugssystem in welchem lokal LG=c gilt.


Dies gilt nur für Ereignisse, die auf dem gleichen Lichtstrahl liegen. Verallgemeinert man auf beliebige Ereignisse, so gilt

c²*dt² -dx² = c²*dt’² - dx’² = c²*tau²

mit der Eigenzeit tau.


Gruss
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Re: Die Mathematik der HET

Beitragvon Trigemina » Di 11. Aug 2009, 20:27

Chief hat geschrieben:Wegen m=0 ist p=0 und somit auch dp=0 und die Ableitung ist nicht definiert.
Das bedeutet m=0 ist auch für Photonen unzulässig.


Die Energie eines Photons ist E=c*│p│. Die Masse verschwindet (invariante Ruhemasse = 0) und sein relativistischer Impuls kann wegen v=c nicht wie bei Teilchen mit │p│=m*v*gamma berechnet werden.




Aus der Ausgangsgleichung

c²*dt² - dx² = c²*dt’² - dx’² = c²*tau²

substituierst du

dx² mit c²dθ² und dx’² mit c²dθ’²

Das kann man zwar machen, erscheint mir jedoch sinnlos. Egal, danach folgt nach deiner Rechnung
dx/dθ=c und dx'/dθ'=c

und die beiden zuvor substituierten Grössen dx² und dx’² stehen plötzlich wieder auf der Matte.


Für beliebige Ereignisse, die nicht auf dem gleichen Lichtstrahl liegen, versagt diese Substitution.

Gruss
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Re: Die Mathematik der HET

Beitragvon Trigemina » Mi 12. Aug 2009, 00:30

Chief hat geschrieben:...Somit hat ein Photon die Masse m=│p│/V.

Die relativistische Massenformel gilt nur für elektromagnetische Masse. Da ein Photon insgesamt elektrisch neutral ist, kann die relativistische Massenformel nicht angewandt werden.


Über

E = h*f = c*│p│ = m*c²

können der Impuls sowie das relativistische Massenäquivalent eines Photons (mit der invarianten Ruhemasse 0) berechnet werden.

Ich habe c²*dt²-c²*dtau²= c²*(dt²-dtau²)=c²dθ² und c²*dt’²-c²*dtau²=c²*(dt’²-dtau²)=c²dθ'² substituiert, um die Gleichungen

dx²=c²dθ² und dx'²=c²dθ'² zu erhalten. Daraus folgt:

dx/dθ=c und dx'/dθ'=c.


Wir können die Ausgangsgleichung

c²*dt² - dx² = c²*dt’² - dx’² = c²*dtau²

in zwei Gleichungen aufspalten:

1) c²*dt² - dx² = c²*dtau²
2) c²*dt’² - dx’² = c²*dtau²

Ich habe c²*dt²-c²*dtau²= ...


Das ergibt durch einfaches Umformen von 1):

c²*dt² - c²*dtau² = dx²

und analog von 2):

c²*dt’² - c²*dtau² = dx’²

Gruss
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Re: Die Mathematik der HET

Beitragvon Trigemina » Mi 12. Aug 2009, 15:31

Chief hat geschrieben:Das bedeutet, die Strahlung trägt eine Masse m=L/V² mit sich mit. Das bedeutet weiter, die Strahlung ist Masse!


Ja, Masse und Energie (auch in Form von Lichtstrahlung) sind energetisch äquivalent.


Wir können aber auch aus c²*dt² - dx² = c²*dt’² - dx’²

eine Gleichung c²*dt² - c²*dt’² = dx² - dx’² machen

und daraus über c²(dt-dt')*(dt+dt')=(dx-dx')*(dx+dx') aus Symmetriegründen

c(dt-dt')=(dx-dx') und c(dt+dt')=(dx+dx').

Somit ist wieder dx/dt=c und dx'/dt'=c,


OK, das ist mathematisch korrekt. Somit wäre die Invarianz von c durch Transformation in allen Inertialsystemen hergeleitet und führt über

c²*dt² - dx² = c²*dt’² - dx’² = ds² = c²*dtau²

zu
Somit ist wieder dx/dt=c und dx'/dt'=c,


Gruss
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