Re: Die Mathematik der HET
Verfasst: Sa 27. Jun 2009, 13:43
Hallo Sebastian
Die Geschwindigkeitsadditionen erfolgen grundsätzlich aus zwei hintereinander geschalteten Koordinatentransformationen. Beginnen wir mit Newton, wo wir das Ergebnis v=v1+v2 bereits kennen:
Geschwindigkeitsaddition nach Newton:
Allgemeine Koordinatentransformation nach Newton auf der x-Achse:
x' = x - v*t und t' = t
Vereinfachend können wir x=0 setzen und erhalten für die 1. Koordinatentransformation von S nach S' mit v1:
x' = -v1*t und t' = t
Nun erfolgt die 2. Trafo von S' nach S" mit v2:
x" = x' - v2*t' und t" = t'
Ersetzen von x' und t':
x" = -v1*t - v2*t und t" = t
Ausklammern:
x" = t*(-v1-v2) und t" = t
Geschwindigkeit v" in S":
v" = x" / t"
v" = t*(-v1-v2)/t = -v1-v2
In S beträgt die Geschwindigkeit v:
v = -v" = v1 + v2
Analog die Geschwindigkeitsaddition nach der SRT:
Allgemeine Koordinatentransformation nach Einstein auf der x-Achse:
x' = gamma*(x - v*t) und t' = gamma*(t - v*x/c^2)
Auch hier können wir vereinfachend x=0 setzen und erhalten für die 1. Koordinatentransformation von S nach S' mit v1:
x' = gamma1*(-v1*t) und t' = gamma1*t
Nun erfolgt die 2. Trafo von S' nach S" mit v2:
x" = gamma2*(x' - v2*t') und t" = gamma2*(t' - v2*x'/c^2)
Ersetzen von x' und t':
x" = gamma2*(gamma1*(-v1*t) - v2*gamma1*t)
t" = gamma2*(gamma1*t - v2*gamma1*(-v1*t)/c^2)
Ausklammern:
x" = gamma2*gamma1*t*(-v1-v2)
t" = gamma2*gamma1*t*(1 + v1*v2/c^2)
Geschwindigkeit v" in S":
v" = x"/t" = -(v1+v2) / (1 + v1*v2/c^2)
In S beträgt die Geschwindigkeit:
v = -v" = (v1+v2) / (1 + v1*v2/c^2)
Die beiden Gammafaktoren haben sich herausgekürzt und die Forminvarianz bezüglich Transformation bleibt sowohl nach Newton als auch nach Einstein erhalten.
Gruss
Die Geschwindigkeitsadditionen erfolgen grundsätzlich aus zwei hintereinander geschalteten Koordinatentransformationen. Beginnen wir mit Newton, wo wir das Ergebnis v=v1+v2 bereits kennen:
Geschwindigkeitsaddition nach Newton:
Allgemeine Koordinatentransformation nach Newton auf der x-Achse:
x' = x - v*t und t' = t
Vereinfachend können wir x=0 setzen und erhalten für die 1. Koordinatentransformation von S nach S' mit v1:
x' = -v1*t und t' = t
Nun erfolgt die 2. Trafo von S' nach S" mit v2:
x" = x' - v2*t' und t" = t'
Ersetzen von x' und t':
x" = -v1*t - v2*t und t" = t
Ausklammern:
x" = t*(-v1-v2) und t" = t
Geschwindigkeit v" in S":
v" = x" / t"
v" = t*(-v1-v2)/t = -v1-v2
In S beträgt die Geschwindigkeit v:
v = -v" = v1 + v2
Analog die Geschwindigkeitsaddition nach der SRT:
Allgemeine Koordinatentransformation nach Einstein auf der x-Achse:
x' = gamma*(x - v*t) und t' = gamma*(t - v*x/c^2)
Auch hier können wir vereinfachend x=0 setzen und erhalten für die 1. Koordinatentransformation von S nach S' mit v1:
x' = gamma1*(-v1*t) und t' = gamma1*t
Nun erfolgt die 2. Trafo von S' nach S" mit v2:
x" = gamma2*(x' - v2*t') und t" = gamma2*(t' - v2*x'/c^2)
Ersetzen von x' und t':
x" = gamma2*(gamma1*(-v1*t) - v2*gamma1*t)
t" = gamma2*(gamma1*t - v2*gamma1*(-v1*t)/c^2)
Ausklammern:
x" = gamma2*gamma1*t*(-v1-v2)
t" = gamma2*gamma1*t*(1 + v1*v2/c^2)
Geschwindigkeit v" in S":
v" = x"/t" = -(v1+v2) / (1 + v1*v2/c^2)
In S beträgt die Geschwindigkeit:
v = -v" = (v1+v2) / (1 + v1*v2/c^2)
Die beiden Gammafaktoren haben sich herausgekürzt und die Forminvarianz bezüglich Transformation bleibt sowohl nach Newton als auch nach Einstein erhalten.
Gruss