Das Prinzip des Seins

Das muss aber ein ganz schön großes Bier gewesen sein:


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Jemand hat meinen Beitrag zum Thema gefunden und im Allmystery verlinkt, jetzt dürfte es eng für den Poeten werden. Er hat neben mir ja auch ein paar andere "Fans"; einer davon hat netterweise dieses kleine Best of Nocheipoet zusammengefasst:


Anbringend,

Mit Alice lässt sich das schön darstellen, aber damit man auch einen Unterschied sieht natürlich nicht mit 200m/sek sondern mit 0.866c:

Im oberen Bild misst Alice dass sich in einem gewissen Abstand eine relativ zu ihr ruhende Masse befindet.
Im unteren Bild misst Alice dass sich im selben Abstand wie oben eine auf sie zubewegende Masse befindet.
Beide Bilder zeigen die Situation im Ruhesystem der dominanten Masse (des grünen Planeten).

Wenn wir Alice als leichten Testpartikel behandeln können wir ihre Fallbeschleunigung mit einem Satz erhalten indem wir den Abstand den Alice in ihrem System hat ganz einfach lorentztransformieren und mithilfe der Schwarzschildmetrik die Fallbeschleunigung g=v'(τ) des Testpartikels, also die Eigenzeitableitung von Alices 3er-Geschwindigkeit, ausrechnen (mit der Formel aus dem obersten Beitrag bzw. von hier). Man sieht aber auch schon ohne zu rechnen dass Alice auf dem unteren Bild einer stärkeren Anziehung in Richtung grüner Planet ausgesetzt ist, ganz einfach schon alleine deswegen weil sie im relevanten System verkürzte Lineale hat und sich deshalb näher beim Schwerpunkt befindet, wo wiederum eine stärkere Anziehung herrscht als weiter weg:



Quod erat demonstrandum,

LOL da wäre die Geschwindigkeit auf der Hypotenuse ja √(0.9²+0.6²)c=1.08c (: Das sollte man schon wissen wenn man einen Einstein-Avatar führt (: Pluss kennt sich zwar auch nicht wirklich besser aus, aber der hat wenigstens keinen Einsteinavatar der das zu Unrecht suggerieren würde (:


Da der Poet diese Frage obwohl man ihm schon extra die dafür benötigte Formel verlinkt hat nicht beantworten kann folgen nun die detailierte Rechnung und der Plot für das obige Beispiel, wo wir uns der Einfachkeit und Eleganz halber auf eine radiale Bewegung beschränken. Dazu brauchen wir zuerst die Metrik im System des Planeten; da wir den Planeten nichtrotierend und seine Masse als sehr viel größer als die von Alice annehmen ist das everybody's favorite metric, die Schwarzschildmetrik:



Um die Beschleunigung von Alice in ihrem Bezugssystem zu erhalten brauchen wir die Christoffelsymbole (s,i,j,k als Subscripts sind die kovarianten, und als Superscripts keine Potenzen sondern die kontravarianten Indizies, wobei 1,2,3,4→t,r,θ,φ):



um daraus die Eigenzeitableitungen zu gewinnen:



Um das Lineal mit der Ruhelänge R in das Koordinatensystem in dem wir arbeiten zu transformieren wird dieses zuerst mit vr=v durch den Lorentzfaktor dividiert, √(g_rr) integriert und nach r aufgelöst:



Jetzt brauchen wir nur noch die Eigenzeitableitung nach v aufzulösen:



und die so erhaltene 3er-Geschwindigkeit nach Alices Eigenzeit differenzieren, damit wir eine elegante Formel für die Fallbeschleunigung die Alice in Richtung der auf sie zufliegenden Masse erfährt erhalten:



Das Lineal mit dem Alice die Entfernung zur Oberfläche des Planeten misst (seine Ruhemasse ist 1.49523·10³⁴ kg und sein Radius der Schwarzschildradius) zeigt genau 1 Lichtsekunde (27GM/c²); der Plot mit der lokalen radialen 3er-Geschwindigkeit v (% von c) auf der x-Achse, und g (in Einheiten von c⁴/G/M) auf der y-Achse zeigt deutlich dass g definitiv von der Geschwindigkeit, also der kinetischen Energie im jeweiligen Bezugssystem, abhängt (Alices g ist hier negativ weil die Masse links ist, und sie rechts):



Seit man ihm den Link verlinkt hat schweigt der Poet sich dazu jedenfalls eisern aus, während er vorher ja noch eine ziemlich große Klappe hatte (: Flucht nach vorne geht nach dem er selbst schon unabsichtlich die Bestätigung meiner Rechnung zitiert hat:


nicht mehr, aber zurückrudern will er anscheinend auch nicht. Vom im Kreis herumrudern ist ihm mittleweile aber auch schon schwindlig, weshalb er die Sache jetzt anscheinend auszusitzen versucht (: Edit: er hat gerade doch darauf geantwortet:


"Er weiß ja wie es richtig ist" (: Deswegen redet er wohl 7 Jahre lang davon dass kinetische Energie keine gravitative Wirkung hat, und gestern gibt er plötzlich doch die "Existenz von relativer Gravitation" zu, woran er sich heute aber anscheinend nicht mehr erinnern kann. Vorrechnen kann er es komischerweise auch nicht, und fragt man ihn nach der Fallbeschleunigung fängt er nur zu schimpfen an; vermutlich in der Hoffnung dass ihm der Faden dann administrativ dichtgemacht wird und ihn keiner mehr darauf ansprechen kann (: Dazulernen ist für ihn wohl keine Option, da müsste er am End ja einsehen dass er trotz seines Einsteinavatars jahrelang nur Halb-, Falsch- und Unwissen verbreitet hat, und vor dieser Einsicht bewahrt ihn dann doch der Dunning-Kruger-Effekt (den man wohl genausogut auch den Manuеl-Krügеr-Effеkt nennen könnte).

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Das ist aber sehr nahe an der Masse, also quasi ein extrem starkes Feld. Da treten sicher extreme Längenverzerrungen auf. Wie wäre das im schwachen Feld? Also kein Schwarzes Loch, und viel weiter weg, sagen wir ein Stern mit 1 Sonnenmasse im Abstand von 1 AU? Da kann man sich den Raum und die Lineale noch eher unverzerrt vorstellen. Ich schaffe es leider nicht das auszurechnen...

Im schwachen Feld tritt sogar tatsächlich fast der gleiche Effekt ein wie wenn man bei Newton einfach nur die relativistische Masse statt der Ruhemasse einsetzen würde, allerdings nur in radialer Richtung. Im starken Feld hingegen sähen sich die beiden Kurven weniger ähnlich, da dann nicht nur kinematische, sondern auch hintergrundgeometrische Verzerrungen aufreten, die mit der Verpanschung von Newton und SRT natürlich nicht mehr berücksichtigt wären. In so einem schwachen Feld wie in dem Beispiel mit 1 Msol in 1 Au Entfernung kann man den postneutonischen Formalismus mit relativistischer Korrektur aber auf jeden Fall verwenden solange man die Richtungskomponenten mit Pythagoras auseinanderhält, da es in transversaler Richtung einerseits zwar keine Längenkontraktion gibt, andererseits aber wiederum die Zentrifugalkraft komplett anders wirkt als unter Newton.

In diesem rein radialen Beispiel im extrem schwachen Feld hingegen kommt mit der exakten Lösung fast das Gleiche raus wie mit der ansonsten ungültigen Vereinfachung vor der überall gewarnt wird, und das sogar bishin zu recht hohen Geschwindigkeiten (knapp unter c gehen die Kurven für das exakte und das angenäherte g aber auch im schwachen Feld auseinander). Hier nichtsdestortotz die exakte Lösung für das von der radialen Relativgeschwindigkeit abhängige Schwerefeld des Sterns im System des Testpartikels in einer Enfernung von 1 astronomischen Einheit, die x-Achse ist wie schon auf der letzten Seite die radiale v in % von c, während die y-Achse g diesmal in Einheiten von m/sek² zeigt:



Nachrechnend,

Hier der Vergleich für das Alice im Wunderland-Beispiel im starken Feld aus dem untersten Beitrag der vorigen Seite (hier ist die Fallbeschleunigung im System von Alice wieder in den natürlichen Einheiten c⁴/G/M angegeben):



Mit der transversalen Komponente verhält es sich etwas anders, so ist es im Gegensatz zu Newton bei Einstein z.B. der Fall dass die Gravitation für ein seitlich vorbeifliegendes Teilchen im nahen Feld stärker wirkt als auf ein radial davonfliegendes; das zeigt sich unter anderem darin dass ein radial auswärts fliegendes Photon noch bis knapp über dem Horizont bei r=2GM/c² entkommen kann, während ein transversal davonfliegendes schon ab der Photonensphäre bei r=3GM/c² verschluckt wird (bei Newton wäre die Richtung egal). Wenn man viele Teilchen mit unterschiedlichen radialen und transversalen Bewegungskomponenten in einem System zusammenfasst (wie in einer erhitzten Box aus Gas) wird das ganze System um genau den Teil der hinzugefügten kinetischen Energie, der gemeinsam mit der ursprünglichen Ruhemasse die relativistische Masse ergibt, schwerer, und gravitiert auch dementsprechend (die Ruhemasse des Systems besteht aus der Ruhemasse und der kinetischen Energie der involvierten Teilchen). Für einzelne Objekte muss man aber die Bewegungsrichtung beachten, da das Feld einer Masse in dem System in dem sie sich bewegt nicht mehr kugelsymmetrisch ist.

Vergleichend,

Es ist zum Totlachen (: Auf Abenteuer Universum meldet sich ein Ad-Bot an, und erstellt einen Faden namens "Plasmakugel Funktion":


Weil die Dinger heutzutage schon recht gut programmiert sind hat er kurz vor seinem eigentlichen Ziel zur Ablenkung noch einen anderen Faden mit automatisch zusammengesetzten Sichwörtern generiert:


Herr Senf, aber auch TomS & Co haben sofort angebissen und erklären der künstlichen Intelligenz schon seit ein paar Tagen die Welt:


und merken dabei gar nicht dass den nur interessiert dass sein Lavalampen-Link angeklickt wird, und er schon nach dem ersten Beitrag längst das Weite gesucht hat (:

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g=dv/dtau ist schon logisch, aber wie kann Alice überhaupt messen ob, oder vor allem wie stark sie beschleunigt wird? Kräfte sollten dabei doch keine auftreten, wenn Alice sich im "freien Fall" befindet?

Anstatt die Fallbeschleunigung auszurechnen meidet der Poet das Thema Graviation jetzt wie die Pest, und pflückt stattdessen lieber etwas tiefer hängende Früchte:


Damals als die Lopez noch dagegen demonstriert hat so etwas mit Affen zu machen fand er das nur halb so schlimm, und jetzt ist er plötzlich der Beschützer aller Elefanten (:

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