Das Prinzip des Seins

Und dieser Zusammenhang ist differentiell nur herzustellen durch die Transformation aus dem differentiellen Ruhesystem des Objektes in das dazu bewegte System.


Über diese Abbildung ist m.Es. die Einsteinsche Anforderung nicht zu bewerkstelligen. Sie kann entfallen.
Ein fahrender Wagen in S ist lediglich durch Transformation aus seinem Ruhesystem S' darstellbar. Also Vorgabe der Ruhelänge und Ruhekoordinaten in S' und zeitabhängige differentielle Transformation nach S bei Verwendung der gerade vorliegenden Relativgeschwindigkeit S zu S'. S' mit Wagen bleibt zeitlos konstant. Wagen wird zeitabhängig in das dazu relativbwegte S transformiert.

Gruß
Ernst

Genau.

Stellen wir uns einen Würfel in Achsenlage vor, der gemäß der galileischen Bewegungslehre in x-Richtung bewegt ist. Der Würfel bestehe aus infinitesimalen Volumenelementen k = 0,1,2,... . Nun seien die Ortsvektoren p_k(t) aller Volumenelemente gegeben. Die Ableitung der Ortsvektoren nach der Zeit liefert die Geschwindigkeitsvektoren u_k(t). Die Geschwindigkeitsvektoren seien zeitlich stetig (die Ortsvektoren stetig differenzierbar) ansonsten aber beliebig (außer natürlich für unsere Zwecke hier < c).

Gemäß galileischer Bewegungslehre sind die Körper starr. Das bedeutet, dass die Ortsvektoren der Volumenelemente nicht nur zeitlich stetig differenzierbar sind, sondern auch räumlich. Der Ortsvektor eines Volumenelements und der Ortsvektor eines benachbarten Volumenelements sind quasi identisch. Auch die Geschwindigkeitsvektoren benachbarter Volumenelemente sind stetig (sie sind betragsmäßig und richtungsmäßig mindestens quasi gleich).

Nun will ich den zunächst ruhenden o.g. Würfel in Achsenlage in x-Richtung in Bewegung versetzen, so dass er sich gemäß einsteinscher Bewegungslehre bewegt. Dazu möchte ich die obigen Geschwindigkeitsvektoren u_k(t) verwenden. Sind die Geschwindigkeitsvektoren konstant, dann brauche ich den Würfel nur mittels Divison durch den gamma-Faktor zu kontrahieren und dann auf die konstanten Ortsvektoren der Volumenelemente des ruhenden Würfels den Term u_k(t) t addieren. Sind sie nicht konstant, dann ist der gamma-Faktor ebenso wie u_k(t) Funktion von k und t.

Nun kontrahiere ich die konstanten Ortsvektoren der Volumenelemente des Würfels mit gamma_k(t). Da nun u_k(t) zeitlich und räumlich stetig ist, ist auch gamma_k(t) zeitlich und räumlich stetig. Der Würfel wird also verformt, aber benachbarte Volumenelemente bleiben benachbart, sie werden nicht `durcheinandergewürfelt', und der Würfel wird nicht zerrissen oder sonstwie gänzlich entstellt, sondern er bleibt ein Würfel, der sich i.a. stetig verformt. Bei einer Bewegung ausschließlich in x-Richtung wird er in x-Richtung in kontinuierlicher Weise länger oder kürzer. Nach der Anwendung des gamma-Faktors gamma_k(t), wird dem konstanten kontrahierten Ortsvektor des noch ruhenden Würfels u_k(t) t hinzuaddiert, so dass er sich bewegt und jedes Volumenelement des Würfels zu jedem Zeitpunkt t die einsteinsche Kontraktionsbedingung erfüllt: Die Kontraktion ist mittels gamma-Faktor gamma_k(t) jederzeit eindeutig in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit u_k(t) gegeben.

Anstelle der Volumenelemente möge man sich 100x100 Panzer im Quadrat vorstellen, die in x-Richtung losfahren. Beschleunigen sie, dann werden die Panzer kürzer und kürzer und der ganze Block von Panzern ebenso, fahren sie mit konstanter Geschwindigkeit, dann bleibt ihre Kontraktion konstant, bremsen sie, dann werden sie länger und länger und der ganze Block von Panzern ebenso.

Fährt nun eine mehrreihige Panzerflotte in beliebiger zeitabhängiger Richtung, dann ist die Mathematik wie von mir unter dem Link zur Mathematik beschrieben anzuwenden. Fährt sie im Kreis, dann zeigt die Animation des Speichenrades, was passiert.




Aber genau das macht die Software doch. Die Galilei-Szene wird zunächst so manipuliert, dass sich alle Körper der Szene in x-Richtung bewegen. Dann wird diese Szene so manipuliert, dass alle Körper ruhen. Eine Galilei-Szene, in der alle Körper ruhen, ist ebenfalls eine gültige Einstein-Szene, da ruhende Körper nicht kontrahiert sind. Diese Szene mit ruhenden Körpern wird nun gemäß der einsteinschen Kontraktionsbedingung in nun einsteinsche Bewegung versetzt, wie ich es gerade beschrieben habe.

Gruß
Faber

Die folgende Animation zeigt, wie ScænaSRT eine galilei-konforme Szene, die Körper in verschiedenen Bewegungzuständen zeigt, in eine einsteinkonforme Szene umrechnet. Die Körper sind teils bzw. zeitweise in Ruhe, gleichförmig geradlinig bewegt, geradlinig beschleunigt sowie auch querbeschleunigt:




Zwei Raumschiffe fahren in entgegengesetzter Richtung aneinander vorbei. Sie führen jeweils ein Tochterschiff mit sich. Die Tochterschiffe wechseln das Mutterschiff (sie wechseln sozusagen das `Bezugssystem'). Man kann die Bilder vergrößern (Browser: Firefox) indem man bei gedrückter Strg-Taste am Mausrad dreht.

Alle gezeigten Bewegungen sind stetig differenzierbar. Die Komponenten der Trajektorien bestehen aus knickfrei zusammengesetzten Parabelstücken und Geraden.

Die oberen beiden Teilbilder G und G' zeigen eine galileische Szene, in der alle Körper starr bleiben, in der alle Körper unabhängig von ihrer Bewegung ihre Ruhegeometrie beibehalten.

Die unteren beiden Teilbilder E und E' zeigen eine einsteinsche Szene, in der die Körper i.a. nicht starr bleiben. Jedes infinitesimale Volumenelement eines Körpers ist jederzeit in Abhängigkeit vom Betrag seiner Geschwindigkeit in Richtung seiner Geschwindigkeit lorentzkontrahiert.

Die galileische Szene wurde in G konfiguriert, d.h. die Komponeten der Trajektorien aller Vertices der dargestellten Linienzüge wurden in Form stetig differenzierbarer Funktionen vorgegeben. Die einsteinsche Szene in E wurde daraus mittels der hier beschriebenen Transformation numerisch errechnet. Man beachte, dass es nicht ganz einfach sein dürfte, die einsteinsche Szene direkt analytisch zu beschreiben.

Die beiden Darstellungen der Einstein-Szene zeigen die erwarteten Eigenschaften: Ruhende Körper erscheinen in Ruhegeometrie. Geradlinig gleichförmig bewegte Körper erscheinen in Bewegungsrichtung in Abhängigkeit von der Schnelligkeit lorentzkontrahiert. Geradlinig beschleunigte Körper schrumpfen in Bewegungsrichtung bzw. wachsen in Bewegungsrichtung, wenn sie bremsen. Auch die Relativität der Gleichzeitigkeit ist zu beobachten. Vor allem aber erkennt man leicht die Symmetrie zwischen E und E' im Anfangs- und Endzustand. Die Unterschiede dazwischen sind durch die Relativität der Gleichzeitigkeit bedingt.


Was passiert nun, wenn ein Körper mit gleichförmiger Schnelligkeit bewegt wird, dabei aber eine Querbeschleunigung erfährt? Der Körper mag sich mit konstantem Betrag des Geschwindigkeitsvektors beliebig durch die Ebene bewegen. Etwa entlang einer sinusförmigen Kurve in der x-y-Ebene. Oder er rotiere um den Ursprung.

Zerlegt man die Bewegung in infinitesimale Zeitintervalle, dann ändert sich die Geschwindigkeit u mit jedem Zeitintervall um einen Betrag δu senkrecht zu u. Diese Geschwindigkeitsänderung führt zu einer Lorentzkontraktion des entsprechenden Volumenelements. Die Kontraktion ist unabhängig davon, ob der Körper in Bewegungsrichtung nach rechts oder nach links abgelenkt wird. Nun ist zu beachten, dass der Körper in Bewegungsrichtung nicht beschleunigt, sondern gebremst wird. Der Geschwindigkeitsvektor des nächsten Zeitintervalls ist in Bewegungsrichtung des aktuellen Zeitintervalls kürzer als der Geschwindigkeitsvektor des aktuellen Zeitintervalls. Da nun beschleunigende Körper kürzer werden, während bremsende Körper länger werden, wird unser querbeschleunigter Körper in Bewegungsrichtung länger. Es findet keine Kontraktion sondern eine Expansion statt.

Im Falle eines etwa um den Ursprung rotierenden Körpers ist diese Expansion dauerhaft kumulativ. Sie führt zu einer Erhöhung der Winkelgeschwindigkeit sowie einer Vergrößerung des Radius. Das zeigen die folgenden bekannten Animationen:

Zum Phipps-Versuch [1]
Zum Phipps-Versuch [2]

Gruß
Faber

Das ist doch Unsinn. Die Panzer, die gleichzeitig beschleunigen, werden jeder für sich kürzer. Aber das gesamte Quadrat bleibt wie es ist. Die Panzer verlieren einfach den Kontakt zueinander. Es bilden sich Zwischenräume. Wenn Sie möchten, dass der Körper zusammenbleibt, dann müssen Sie die inneren Kräfte kennen. Ein Körper zerreißt nur dann nicht in Stücke, wenn die Bindungskräfte größer sind als die Gezeitenkräfte bei der Beschleunigung. Sie kommen bei beschleunigten Szenen um eine dynamische Betrachtung nicht herum.



Auch das geht nicht. Sie können eine Szene, in der die Körper sich gegeneinander bewegen, durch Lorentz- oder Galileitransformation in eine umwandeln, in der alle Körper ruhen.

Gruß,
Gluon

Sie irren. Die von Ihnen beschriebene Szene entspricht nicht der einsteinschen Bewegungslehre. Das Quadrat bestehend aus 100x100 Panzern ist nämlich gleichermaßen wie ein einzelner Panzer ein geometrischer Körper. Gemäß der einsteinschen Bewegungslehre sind aber bewegte Körper in Bewegungsrichtung lorentzkontrahiert. Das gilt sowohl für Panzerflotten als auch für Panzer als auch für Volumenelemente von Panzerflotten als auch für Volumenelemente von Panzern. Die einsteinsche Bewegungslehre interessiert sich nicht dafür, was die Körper darstellen. Sie handelt von geometrischen Körpern, von Geometrie. Halten die Panzer einer Flotte etwa immer eine Panzerlänge Abstand, dann werden die leeren Zwischenräume in gleicher Weise lorentzkontrahiert wie die Panzer.



Ich erinnere erneut daran, dass es in diesem Strang um Kinematik geht. Die Kinematik handelt von der Bewegung geometrischer Körper. Denken Sie immer an hohle Körper mit hinreichend dünnen beliebig flexiblen Wänden, zwischen deren Volumenelementen keine Kräfte wirken. Zwischen nichts und nichts wirkt keine Kraft.



Doch das geht, indem für jedes infinitesimale Volumenelement und jedes infinitesimale Zeitintervall eine andere Transformation verwendet wird. Dabei sind die beiden Transformationen zweier benachbarter Volumenelemente in einem Zeitintervall beinahe gleich und die beiden Transformationen ein und desselben Volumenelementes zweier aufeinanderfolgender Zeitintervalle sind ebenfalls beinahe gleich.

Gruß
Faber

Die folgende Animation zeigt die Auflösung zu Prof. Embachers `Paradoxon':




Prof. Embacher beschreibt die Szene hier.

Der Flugkörper bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit in x-Richtung. In y-Richtung bewegt er sich auf einer Bahn, die aus Parabeln zusammengesetzt ist. Die Szene enthält alle Arten der Bewegung: Ruhe, inertiale Bewegung, geradlinige Beschleunigung plus Querbeschleunigung.

Gruß
Faber

Also ein Faden läßt sich über Ziehkräfte zerreißen.
Kräfte als Zeitendifferenz zu erfassen ist (noch) weniger gebräuchlich.

A pro pos >>innere Kräfte kennen<<, müßten wir nicht auch bei MM-Versuchen die inneren Kräfte der Materie, die des materiellen Aufbaus der Arme, kennen, um zu entscheiden, ob überhaupt eine Bewegung „durch“ ein absolutes Medium (Äther) meßbar ist.
Wenn sich da nicht instantan die materielle Länge der Arme mit der Wellenlänge des freien Licht's bei Drehungen aus dem Ätherwind angleicht?
Damit wird die Flotte als ganzes in einen anderen Bewegungszustand versetzt.
Mit anderen Worten eine Beschleunigung des Teilsystem's isochron, im Sinne von trägheitsfrei oder freier Fall.
Die gewöhnlichen Impuls-Antriebe, so ich Gluon verstehe, basieren auf Stauchkräften, Trägheit, Rückstoß.

Gruß

Noch eine Anmerkung zu den Bildern, die Prof. Embacher auf dieser Seite zu seiner Szene zeigt:





Bei dieser von Prof. Embacher dargestellten Szene handelt es sich nicht um eine Szene, die die Kontraktionsbedingung der SRT erfüllt. Die folgende Animation zeigt, was passiert, wenn man eine solche gemäß SRT ungültige Szene nimmt und dann lorentztransformiert:




Die Konsequenzen sind deutlich sichtbar: In E' durchdringt der Flugkörper die Barriere. Daraus lerne ich folgendes: Die Lorentztransformation ist bestenfalls dann garantiert bijektiv, wenn die zu transformierende Szene die Kontraktionsbedingung einhält. Wird die Kontraktionsbedingung nicht eingehalten, dann können mehrere Volumenelemente, die in E durchdringungsfrei sind, sich in E' durchdringen. Das werde ich noch genauer theoretisch untersuchen.

Gruß
Faber

P.S. @Gluon: Es reicht, in ScænaSRT ein Flag zu setzen, dann wird die konfigurierte (galileische) Szene als einsteinsche Szene verwendet.

Ich muss meinen vorangegangenen Beitrag korrigieren:


Die Durchdringung der Körper in der gezeigten Animation hat nichts mit der Lorentztransformation zu tun, sondern resultiert aus einem groben Fehler meinerseits. Ich habe dem Flugkörper nicht genügend viele Vertices spendiert. Die korrekte Animation sieht wie folgt aus:



Ein Bijektivitätsproblem in Abhängigkeit von der Einhaltung der Kontraktionsbedingung ist also keineswegs angezeigt.

Den Hinweis auf die Ungültigkeit der Szene habe ich trotzdem nicht entfernt, denn die Szene in E ist immer noch im Sinne der SRT ungültig. Nicht nur in E' sondern auch in E kann der Flugkörper kein starrer Körper bleiben, da er in x-Richtung mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und in y-Richtung beschleunigt ist, weshalb er Querbeschleunigungen erleidet. Die Folge ist, dass er auch in E kein mehr oder weniger kontrahiertes Rechteck in Achsenlage bleibt, sondern seine Geometrie weitergehend verformt wird:



Gruß
Faber

P.S.: Auch Fehler in der Geschwindigkeitsanzeige in E' habe ich korrigiert. Da war noch eine veraltete Methode am Werk.

Mein Urteil zur SRT sieht inzwischen so aus:

• Man kann die SRT zur Beschreibung der einen wahren Wirklichkeit durchaus verwenden, solange es um Vorgänge geht, in denen sich Körper langsamer als mit c bewegen. Alle besonderen Effekte der SRT, die sie gegenüber der klassischen Kinematik auszeichnen, sind mathematische Effekte der Art der Beschreibung und nicht physikalische Effekte der Wirklichkeit. Das verhält sich ähnlich wie bei der Beschreibung der Wirklichkeit in klassischer Weise in Bezugssystemen, die nicht inertial sind. Beschreibt man eine reale Szene etwa in einem rotierenden Bezugssystem, dann bewegen sich kräftefreie Körper nicht entlang geradliniger Trajektorien. Nimmt man die Dynamik hinzu, dann treten in der Beschreibung Kräfte auf, die es tatsächlich nicht gibt, was bekannt ist, weil tatsächliche Kräfte in der Praxis Reibungseffekte als Nebenwirkung verursachen.
• Auch der kumulative Expansions-Effekt der SRT bei Körpern, die sich im Kreis drehen oder sonstige zyklische Kurven durchlaufen, bereitet keinerlei mathematische Probleme. Dass es sich dabei um rein mathematische Effekte der sonderbaren Betrachtungsweise handelt, hat E. Phipps Jr. experimentell nachgewiesen.
• Wer nicht-inertiale Bezugssysteme zur Beschreibung von Vorgängen in der Realität verwendet, der verfällt leicht allerlei Irrtümern.
• Wer die SRT zur Beschreibung von Vorgängen in der Realität verwendet, der ebenfalls.
• Die Beschränkung der Schnelligkeit von Körpern auf unter c scheint auf den ersten Blick eine Konsequenz der direkten Anwendung der Mathematik der SRT zu sein. Es weiß nun jedermann, dass die Lichtjahre entfernten Sterne schneller als mit c um uns rotieren. Die Animationssoftware ScænaSRT stellt das auch problemfrei dar. Etwa das rotierende Speichenrad erleidet keinerlei besondere Effekte, wenn seine Umfangsgeschwindigkeit c überschreitet. Bei geradliniger Bewegung, die c überschreitet, entstehen allerdings entartete Körper, deren Volumen negativ wird, da die Hinterkante die Vorderkante überholt. Wer die Welt mittels SRT beschreiben will, muss auf der Hut sein, solche mathematischen Effekte korrekt als mathematische und nicht als physikalische Effekte zu interpretieren.
• Ich kann nur empfehlen, sich der bewährten Methoden von Galilei und Newton zu bedienen.

Gruß
Faber