Das Uhrenparadoxon

[Daniel K.]

Sie schauen geradeaus entlang der gepunkteten Pfeile auf das jeweils andere System.

Da hab ich ein Problem mit, bei mir haben die gar nichts zu "schauen" und schon gar nicht können die irgendwie wo in ein "anderes" System schauen. Jeder hat sein Ruhesystem und beschreibt darin die Welt, Laufzeiten für Licht werden rausgerechnet, er hat sein Koordinatensystem, da gibt es Orte im Raum und die können zu einem gegebenen Zeitpunkt ein Ereignis haben.

Sicher, jeder ruht jeder in seinem Ruhesystem. Und darin kann Bob doch sehen was an jedem Ort los ist. Er sieht auch zu jeder Zeit den Ort von Alice, und als Ereignis sieht er, dass sie sich dort mit ihren Uhren in bestimmtem Abstand befindet. Bob und Alice sind doch im selben Universum und im selben Raum.

Ich weiß ich bin da ansträngend, können wir uns Anstelle von "sieht" auf "kennt" einigen?

Mit "sehen" ist hier instantan sehen gemeint, also ohne Lichtlaufzeiten.

Was Du meinst und was gemeint ist, damit, ist mir schon klar. Bin eben ein wenig autistisch ... oder habe da einen kleinen Monk in mir ...

Das ist in der SRT so üblich: Der sog. Beobachter überblickt jederzeit instantan das ganze Universum als sein Ruhesystem, wo die Zeit für ihn überall gleich schnell vergeht. Anders gesagt: Man kann sich an jedem Ort eine Uhr denken, und alle laufen synchron. Wir wollen im Beispiel zwar erst noch synchronisieren, aber üblich werden in einem Inertialsystem synchrone Uhren schon vorausgesetzt.

Ja, keine Einwände und das kann man voll nice in ein Koordinatensystem gießen, das rechte Winkel zwischen den Achsen hat.

In so einem Diagramm hat man ja nur eine Raumdimension (x-Achse), und darauf spielt sich alles ab. Das reicht auch, weil es ja nur um geradlinige, gleichförmige Bewegung geht. Sie können sich also gegenseitig "sehen" auf genau dieser einen Verbindungslinie und jederzeit die fremden Uhren ablesen und ihre Distanz messen. Das meine ich mit schauen "auf das jeweils andere System". Das war vielleicht etwas ungeschickt formuliert von mir.

Nun ja, eher pedantisch von mir, denn mir ist ja klar, was Du meinst, also ich bin mir da schon recht sicher, Dich richtig zu verstehen.

Jeder Beobachter liest auf der eigenen Uhr t und auf der fremden Uhr τ ab.

Ja, aber hier schreibe ich gerne, man hat vor Ort ein Fotoapparat, der beide Uhren auf ein Foto drückt. Geht mir ja nicht immer nur um mich, auch um andere die nur lesen. Foto ist immer toll, kann man in Ruhe zu Bob bringen und zeigen.

Jeder Beobachter misst den Abstand seiner Uhren mit l und den der fremden Uhren mit λ.

Ja.

Alles geschieht in dieser einzigen Raumdimension als Richtung der Relativbewegung. Und alles entlang dieser "Sichtlinie" ist ja für einen Beobachter gleichzeitig.

Ja, und schön so, aber keine Antwort auf meine Frage und zeigt mir auch nicht wo der Wurm ist. Und Du hast keiner meiner Aussagen mit Werten widersprochen, wie ist das zu verstehen, egal, oder schweigende Zustimmung?

[Frau Holle]

Und Du hast keiner meiner Aussagen mit Werten widersprochen, wie ist das zu verstehen, egal, oder schweigende Zustimmung?

Mit den Werten machst du etwas grundsätzlich falsch, meine ich. Weiß nur noch nicht wie ich es erklären soll ohne zu langen Text. Irgendwie addierst du eine Relativgeschwindigkeit zum Signal, aber das geht nicht. Die Relativgeschwindigkeit der Uhr in Richtung Signal ist doch mit der Längenkontraktion schon eingepreist. Für Bob ist der Abstand zu U5 nur 2,4 Lj, aber de facto ist er ja länger, nämlich 3 Lj. Die Uhr kommt dem Signal nicht noch zusätzlich entgegen auf dieser wegen der Bewegung bereits verkürzt gemessenen Strecke.

In meiner Grafik ist der Abstand zwischen Bobs Uhren übrigens nur l = 3 Lj, nicht wie früher 6 Lj. Dasselbe bei Alice.

Nachtrag: Aber ehrlich gesagt weiß ich auch nicht genau worauf du hinaus willst mit deinen Werten, zumal du mir ja recht gegeben hast mit den 3 Jahren Laufzeit von t=0 zu U5. Für Bob sollen es dann nicht 3 Jahre sein, so wie ich dich verstehe.

[Frau Holle]

Ah, habe die Frage wieder gefunden:

Meine Frage war noch, wann ereignet sich der Blitz der die Uhren von Alice synchronisiert für Bob.

Du fragst wann der Blitz startet?
Das kann für Bob nur gleichzeitig mit seinem Blitz sein, denn der von Alice trifft ja für beide gleichzeitig bei den vorderen Uhren ein, also muss er für Bob auch gleichzeitig gestartet sein mit dem Blitz, der seine vordere Uhr trifft.
Mit meinen Zahlen (3 Lj Distanz zwischen je 2 Uhren) ist das 1,5 Jahre vor dem Treffen von Bob und Alice.

[Daniel K.]

Und Du hast keiner meiner Aussagen mit Werten widersprochen, wie ist das zu verstehen, egal, oder schweigende Zustimmung?

Mit den Werten machst du etwas grundsätzlich falsch, meine ich. Weiß nur noch nicht wie ich es erklären soll ohne zu langen Text.

Kann sein, denke aber nicht, und ich habe nichts gegen längere Texte.

Irgendwie addierst du eine Relativgeschwindigkeit zum Signal, aber das geht nicht.

Also doch das geht schon. Ich grübel mal laut, ein Zug mit 6 Lj Länge mit 0,6 c für Bob bewegt hat eine Länge von 4,8 Lj, durch die Lorentzkontraktion, da sind wir uns doch einig. Bob kann am Bahnhof stehen, in der Mitte, mit Lampe, er macht die mal an und aus. Der Zug steht auch mittig Bob gegenüber, der Schaffner sieht das Lichtsignal von Bob, direkt ins Auge. Denke mal bis hier sind wir uns doch einig.

Nun läuft das Signal für Bob den wirklich langen Bahnhof lang, zu einem Ende, das ist 3 Lj weit weg, das Signal läuft ganz sicher 3 Jahre, da sind wir uns doch auch einig.

Nun fragt sich Bob, wann wird das Signal denn das Zugende erreichen. Das Ende des Zuges bewegt sich auf Bob mit 0,6 c zu, auch hier rechne ich nicht mit einem Widerspruch von Dir.

Bob "weiß" also, das Zugende in 2,4 Lj Entfernung bewegt sich dem Lichtsignal mit 0,6 c entgegen. Logischer Weise sollte das Signal das Zugende eher treffen. Der Abstand zwischen Signal und Zugende ändert sich für Bob als mit c + 0,6 c = 1,6 c und in 1,5 Jahren sind das 2,4 Lj, genau der Abstand zwischen dem Signal beim Start und dem Ende des Zuges, also Treffer. Ich behaupte mal ganz frech, Bob "sieht" wie nach 1,5 Jahren das Signal die Uhr im Zugende startet.

Wenn Du hier Einwände hast, dann lass die mal hören.

Die Relativgeschwindigkeit der Uhr in Richtung Signal ist doch mit der Längenkontraktion schon eingepreist. Für Bob ist der Abstand zu U5 nur 2,4 Lj, aber de facto ist er ja länger, nämlich 3 Lj.

Da gibt es keine de facto, die Länge des Zuges ist für Bob real und beträgt 4,8 Lj, ich meine der Abstand zwischen beiden Uhren, die Hälfte ist real 2,4 Lj. Das misst Bob so ganz real, das ist keine Illusion, ist eine reale physikalische Länge. Darum sage ich ja Fotos machen, Bob kann ein Foto über die ganze Länge machen in seinem System gleichzeitig und auf dem Bild ist, wenn wir da einen Zug hätten, ein Zug mit 4,8 Lj Länge. Und wenn wir bei 2,4 Lj am Bahnhof Uhren hätten, könnten die mit aufs Bild.

Bei t, t' = 0 haben wir einen Zug mit einer Ruhelänge von 6 Lj im Bahnhof mittig, Bob blickt dem Schaffner in der Zugmitte direkt in die Augen. Ein Blitz schlägt ein, durch die Zugmitte in die Gleise des Bahnhofs, das Licht läuft zu den Enden des Bahnhofs und des Zuges. Ohne Frage "sieht" Bob, wie das Licht an seinen beiden Enden das Bahnhofs nach 3 Jahren ankommt, in einer Entfernung von 3 Lj. Und beide Signal kommen für Bob gleichzeitig an den Enden an.

Stellen wir uns mal eine Reihe von Uhren am Bahnhof von Bob vor, über die ganze Länge und die laufen auch schon synchronisiert. Signal kann von mir aus ja nochmal laufen und kommt eben nach 3 Jahren an den Enden an. Wenn Bob nun überall am Bahnhof an den Uhren Fotos macht, also den Zug fotografiert, oder eine ganz lange Sensorfläche entlang des Bahnhofs hat, und bei t = 0 ein Bild macht, dann hat er bei - 2,4 Lj und + 2,4 Lj die beiden Zugenden auf dem Bild.

Und ja der kontrahierte Zug bewegt sich auch für Bob und natürlich bewegen sich auch die Enden des Zuges über die Zeit, kann doch gar nicht anders sein.

Das Licht des Blitzes läuft am Bahnhof entlang mit c für Bob, und nach 1,5 Jahren ist es 1,5 Lj weit am Bahnhof entlanggelaufen. Und das Zugende hat sich in der Zeit bewegt und zwar mit 0,6 c dann 0,9 Lj auf Bob zubewegt, dem Signal entgegen und in Summe sind das 2,4 Lj. Wenn der Schaffner im Zug am Ende seine Uhr mit dem Signal neu auf 0 stellt, kann das am Bahnhof 1,5 Lj weit entfernt von Bob fotografiert werden, nach 1,5 Jahren für Bob. Also ich bin mir da schon recht sicher. Aber lass ruhig mal hören was Du so meinst.

Die Uhr kommt dem Signal nicht noch zusätzlich entgegen auf dieser bereits verkürzt gemessenen Strecke.

Doch Du, bin mir recht sicher. Also nun bringst Du mich doch echt wo durcheinander. Nun ich finde da erstmal keinen Fehler in meiner Beschreibung von eben. Der Zug ist real lorentzkontrahiert. Hat der eine Ruhelänge von 6 Lj hat er bei 0,6 c für Bob eine Länge von 4,8 Lj. Bob "steckt" für sich in seinem System die beiden Zugenden gleichzeitig ab. Foto, auf dem Bild beide Enden des Zuges, real 4,8 Lj. Bei t = 0 für Bob, wenn der Zug mittig im Bahnhof steht, sind das zu jedem Zugende für Bob 2,4 Lj.

Und über die Zeit bewegt sich dieser für Bob kürzere Zug, somit auch seine beiden Enden. Wenn - und das ist ja wohl sicher - das Licht des Signals am Bahnhof mit c entlangläuft, dann hat es - wohl auch unstrittig - nach 1,5 Jahren eben 1,5 Lj am Bahnhof zurückgelegt. In der Zeit hat sich das Zugende bewegt, mit 0,6 c und zwar dem Signal entgegen. Das sind 0,9 Lj. Und somit sollte das Signal nach 1,5 Jahren das Zugende treffen. Also ich finde da keinen Fehler, keine Ahnung, eventuell werde ich zu alt für so etwas.

In meiner Grafik ist der Abstand zwischen Bobs Uhren übrigens nur l = 3 Lj, nicht wie früher 6 Lj. Dasselbe bei Alice.

Super, das hilft mir ja nun mal gar nicht, wenn Du nun auch noch die Vorgaben änderst. Wie dem auch sei, Wochenende, werde mir das noch mal in der Nacht durch grübeln. Man habe ich heute Nacht genial luzid geträumt, wie Supermann geflogen und viele andere Dinge probiert. Gut, also erstmal, und wie schon gesagt, Deine Animation ist ohne Frage cool.

[Daniel K.]

Ah, habe die Frage wieder gefunden:

Meine Frage war noch, wann ereignet sich der Blitz der die Uhren von Alice synchronisiert für Bob.

Du fragst wann der Blitz startet?

Ja ...

Das kann für Bob nur gleichzeitig mit seinem Blitz sein, denn der von Alice trifft ja für beide gleichzeitig bei der vorderen Uhr ein, also muss er für Bob auch gleichzeitig gestartet sein mit dem Blitz, der seine vordere Uhr trifft.

Nicht bei mir, weil bei mir ist das Ereignis welche die beiden Uhren von Alice synchronisiert - 6 Lj von Bob entfernt. Das Signal für Bob ist klar, mittig zwischen Bobs Uhren, also bei 3 Lj und klar, es läuft 3 Jahre zu Bob.

[Daniel K.]

.
Ich bleibe mal bei den 6 Lj zwischen den beiden Uhren von Bob. Die werden synchronisiert von einem Ereignis, welches zwischen beiden Uhren bei t = - 3 Jahre und in einer Entfernung von 3 Lj von Bob liegt.

So weit, so gut, bei t = 0 kommt Alice nun mit dem einem Signal von dem Ereignis von Bobs Synchronisation bei Bob mit ihrer Uhr an und zusätzlich kommt auch noch ein Signal von dem Ereignis zur Synchronisation der beiden Uhren von Alice an.

Dieses Signal läuft für Bob - wie auch für Alice - mit c.

Der Abstand zwischen beiden Uhren von Alice beträgt für Bob bei 0,6 c genau 4,8 Lichtjahre, die Mitte liegt bei 2,4 Lj.

Du hast mich verwirrt, ich hatte - glaubte ich zumindest - es schon klarer. Mit Ruhe und Augen zu im Kopf geht es besser, jetzt frage ich mich eben, ob das Ereignis welches die beiden Uhren von Alice synchronisiert - klar für Alice muss es mittig zwischen ihren beiden Uhren sein - auch für Bob mittig zwischen den beiden Uhren liegt.

Alice kommt bei mir von links, das Ereignis von Bob liegt für Bob rechts bei + 3 Lj. Das Ereignis von Alice muss also zwingend links von Bob liegen.

Du sagst, es ist für Bob gleichzeitig mit seinem Signal, also dann für Bob bei - 3 Lj. Dann kommt es pünktlich bei Bob mit seinem Signal an. Es ist 3 Jahre unterwegs, also kann ich ausrechnen, wo Alice vor 3 Jahren für Bob war, bei 0,6 c sind es 1,8 Lj links von Bob. Also bei - 1,8 Lj. Dann wäre der Abstand zwischen dem Ereignis für Bob 3 Lj - 1,8 Lj = 1,2 Lj. Bob weiß also, wenn das Ereignis für Alice bei - 3 Lj liegt, dass vor 3 Jahren der Abstand zwischen diesem Ereignis und Alice 1,2 Lj war.

Der Abstand zwischen beiden Uhren von Alice beträgt für Bob 4,8 Lj, er kann also ausrechnen, wo die andere Uhr von Alice dann gewesen sein muss, das wäre noch weiter links, 4,8 Lj + 1,2 Lj = 6 Lj.

So weit so gut, ist natürlich für Bob nicht mittig zwischen den beiden Uhren von Alice, mir fehlt aktuell meine logische Begründung, warum ich meinte, dass das Signal von Alice auch für Bob mittig zwischen beiden Uhren von Alice sein muss. Ich weiß, ich hatte dafür eine Erklärung.

Wie auch immer, ich wollte es eben auch für mich noch mal aufschreiben, vermutlich muss ich doch noch mal richtig was rechnen, ich muss mal grübeln, ich hoffe ich finde meine Erklärung und Begründung wieder, warum das so nicht geht, also warum das Ereignis auch für Bob mittig zwischen beiden Uhren von Alice sein muss. Kann ja auch gut sein, dass ich mit dieser Annahme geirrt habe. Du scheinst Dir ja bei Deiner Animation sehr sicher zu sein, also inzwischen zumindest. Egal, das Grübeln ist sicher gut fürs Hirn ...

[Daniel K.]

Ah, habe die Frage wieder gefunden:

Meine Frage war noch, wann ereignet sich der Blitz der die Uhren von Alice synchronisiert für Bob.

Du fragst wann der Blitz startet? Das kann für Bob nur gleichzeitig mit seinem Blitz sein, ...

Das kann meiner Meinung nach von der Logik her unmöglich sein, wegen der Symmetrie müsste das so auch für Alice gelten, also auch für Alice müssten dann beide Ereignisse gleichzeitig sein. Es gibt nicht zwei Ereignisse, welche für Bob gleichzeitig sind und dann auch für Alice. Also nicht wenn sie nicht am selben Ort sind, also beide Ereignisse an einem Ort. Klar ist, beide Ereignisse sind räumlich für Alice wie auch für Bob getrennt, sonst bräuchte es ja nur ein Ereignis. Also ich behauptet man ganz frech, beide Ereignisse sind für Bob wie auch für Alice nicht gleichzeitig, und das von Alice ist für Bob später, so wie für Alice das von Bob später ist.

... denn der von Alice trifft ja für beide gleichzeitig bei den vorderen Uhren ein, also muss er für Bob auch gleichzeitig gestartet sein mit dem Blitz, der seine vordere Uhr trifft.

Ich bin ja auch hier der Meinung, eben darum kann es nicht 3 Lj links von Bob liegen. Genau, da ist sie wieder, meine Begründung, wie schön, Hirn geht noch. Genau das ist der Punkt, würde das Ereignis von Alice links von Bob bei - 3 Lj liegen, wäre es für Bob gleichzeitig mit seinem Ereignis. Wegen der Symmetrie zwischen Bob und Alice müsste es auch für Alice dann gleichzeitig sein, eben rechts bei 3 Lj, aber das ist unmöglich, zwei Ereignisse, die nicht an einem Ort sind, also räumlich getrennt, können nicht für zwei zueinander bewegte Beobachter gleichzeitig sein. Ich denke damit kann ich logisch begründen, warum das Ereignis für Alice bei Bob nicht bei - 3 Lj liegen kann.

Es muss dichter dran oder weiter weg sein, ich war mir sicher, weiter weg. Mal sehen was mir da noch so einfällt.

[Frau Holle]

Und somit sollte das Signal nach 1,5 Jahren das Zugende treffen. Also ich finde da keinen Fehler, keine Ahnung, eventuell werde ich zu alt für so etwas.

Keine Panik, bin auch nicht mehr jung. Und da ist auch kein Fehler, du hast völlig recht! Jetzt sehe ich's endlich auch. Danke für die Erklärung.

Bei mir haben nur sämtliche Alarmglocken geläutet, weil du zuerst auf über c aufaddiert hast, aber das lag wohl nur am Rechenweg, ohne dass diese Überlichtgeschwindigkeit irgendwie physikalisch messbar sein müsste. Dann geht das schon.

Man sieht es auch in der Grafik: Einfach den t-Regler auf 1,5 stellen und entlang von Bobs Sichtlinie nach links oben auf die Weltlinie von Alices hinterer Uhr schauen (ganz links). Dort schlägt genau der Lichtstrahl von Bobs Signal ein, passt.
Das ist das Ereignis bei Alices Uhr, was Bob nach t=1,5 Jahren Eigenzeit "sieht".

[Frau Holle]

Du fragst wann der Blitz startet? Das kann für Bob nur gleichzeitig mit seinem Blitz sein, ...

Das kann meiner Meinung nach von der Logik her unmöglich sein, wegen der Symmetrie müsste das so auch für Alice gelten, also auch für Alice müssten dann beide Ereignisse gleichzeitig sein.

Die Synchronisation der vorderen Uhr ist für beide gleichzeitig (weil auch am selben Ort) und der eigene Blitz startete auch für beide 1,5 Jahre vorher. Aber damals waren diese Ereignisse trotzdem nicht gleichzeitig, weil nicht am selben Ort, das stimmt.

Stelle den t-Regler auf t = -1,5 (Start der Blitze), dann siehst du es: Jeder sieht τ auf der anderen Uhr, was nicht der Eigenzeit t entspricht. Der eigene Blitz "jetzt" bei t=-1,5 findet für den anderen schon viel früher statt, bei t = ca. -3. Den Blitz blende ich halt erst später ein... das wäre vielleicht noch eine Korrektur wert.

[Daniel K.]

Und somit sollte das Signal nach 1,5 Jahren das Zugende treffen. Also ich finde da keinen Fehler, keine Ahnung, eventuell werde ich zu alt für so etwas.

Keine Panik, bin auch nicht mehr jung. Und da ist auch kein Fehler, du hast völlig recht! Jetzt sehe ich's endlich auch. Danke für die Erklärung.

Wie beruhigend.

Bei mir haben nur sämtliche Alarmglocken geläutet, weil du zuerst auf über c aufaddiert hast, aber das lag wohl nur am Rechenweg, ohne dass diese Überlichtgeschwindigkeit irgendwie physikalisch messbar sein müsste. Dann geht das schon.

Ja, in einem IS kann sich nicht schneller als mit c bewegen, aber zwei Objekte können schon für Bob auch mit je 0,9 c aufeinander zu fliegen und da ändert sich der Abstand für Bob dann mit 1,8 c. Will man wissen, wie es von einem Objekt ausschaut, muss man beide Geschwindigkeiten relativistisch addieren und da kommt dann eben was von 0,999999 c raus.

Man sieht es auch in der Grafik: Einfach den t-Regler auf 1,5 stellen und entlang von Bobs Sichtlinie nach links oben auf die Weltlinie von Alices hinterer Uhr schauen (ganz links). Dort schlägt genau der Lichtstrahl von Bobs Signal ein, passt.
Das ist das Ereignis bei Alices Uhr, was Bob nach t = 1,5 Jahren Eigenzeit "sieht".

Und 3 Jahre, wenn man von den ursprünglichen 6 Lj Abstand zwischen beiden Uhren ausgeht?

Du fragst wann der Blitz startet? Das kann für Bob nur gleichzeitig mit seinem Blitz sein, ...

Das kann meiner Meinung nach von der Logik her unmöglich sein, wegen der Symmetrie müsste das so auch für Alice gelten, also auch für Alice müssten dann beide Ereignisse gleichzeitig sein.

Die Synchronisation der vorderen Uhr ist für beide gleichzeitig (weil auch am selben Ort) und der eigene Blitz startete auch für beide 1,5 Jahre vorher. Aber damals waren diese Ereignisse trotzdem nicht gleichzeitig, weil nicht am selben Ort, das stimmt.

Also auch hier ursprünglich 3 Jahre.

Stelle den t-Regler auf t = -1,5 (Start der Blitze), dann siehst du es: Jeder sieht τ auf der anderen Uhr, was nicht der Eigenzeit t entspricht. Der eigene Blitz "jetzt" bei t = -1,5 findet für den anderen schon viel früher statt, bei t = ca. -3. Den Blitz blende ich halt erst später ein ... das wäre vielleicht noch eine Korrektur wert.

Ja Signale die in der Animation selber laufen sind nice to have. Nun weiß ich aber noch immer nicht, wo für Bob das Ereignis für Alice stand fand und wann das für Bob war. Ebenso weiß ich noch nicht, ob das für Bob auch mittig zwischen beiden Uhren von Alice sein muss, also ich glaube ja, war mir da auch schon sehr sicher. Aber ist ja schön, wenn wir weiter zusammenkommen. Wird schon ...