Zur Bijektivität der Lorentztransformation

[Faber]

Bevor das neue Jahr anbricht, noch eine aktuelle Mitteilung:

Auf der folgenden DIN-A4 Seite zeige ich, dass die Lorentztransformation keine bijektive Abbildung ist. Es stellt sich heraus, dass ein in S konstant beschleunigter Körper in S' doppelt auftaucht - als sei in S' ein Alkoholverbot vonnöten.

ZBdL.png (44.96 KiB) 7496-mal betrachtet

Guten Rutsch und ein gesegnetes neues Jahr
Faber

P.S.: Hier gibt es dieselbe Seite als PDF.

[Gluon]

Hallo Faber,

Das Ergebnis ihrer Rechnung hat mit Bijektivität nichts zu tun. Bijektiv ist die Abbildung, weil jeder Raum-Zeit-Punkt auf exakt einen anderen Raum-Zeit-Punkt abgebildet wird. Das ist eindeutig der Fall, wie man in ihren Bildern auch sieht: Jeder Punkt erscheint in dem rechten Diagramm auf einen eindeutigen Punkt.

Was sie hier kritisieren ist, dass ein und das selbe Objekt zu zwei Zeiten an verschiedenen Orten auftaucht. Das liegt daran, dass Sie fälschlicher Weise annehmen, die SRT würde es erlauben, Körper auf Überlichtgeschwindigkeit zu beschleunigen. Mit Bijektivität hat das nichts zu tun.

Gruß,
Guon

[Faber]

Das Ergebnis ihrer Rechnung hat mit Bijektivität nichts zu tun. Bijektiv ist die Abbildung, weil jeder Raum-Zeit-Punkt auf exakt einen anderen Raum-Zeit-Punkt abgebildet wird. Das ist eindeutig der Fall, wie man in ihren Bildern auch sieht: Jeder Punkt erscheint in dem rechten Diagramm auf einen eindeutigen Punkt.

Was sie hier kritisieren ist, dass ein und das selbe Objekt zu zwei Zeiten an verschiedenen Orten auftaucht. Das liegt daran, dass Sie fälschlicher Weise annehmen, die SRT würde es erlauben, Körper auf Überlichtgeschwindigkeit zu beschleunigen. Mit Bijektivität hat das nichts zu tun.

Die folgende Animation zeigt eine Szene, bei der die Zeitgleichung t'(t) = γ (t - v/c² x(t)) i.a. keine streng monoton wachsende Funktion ist.

AcceleratedBallonAnimation-c661-z20.gif (1.06 MiB) 7458-mal betrachtet

Der dunkle Kreis ist eine Lichtsphäre, die sich mit w = c ausbreitet. Der helle Kreis ist ein Luftballon, der sich mit w = c/2 (1 + v/(1m t)) [m wie Meter] ausbreitet. Seine Anfangsgeschwindigkeit ist c/2. Die Geschwindigkeit wächst mit vc/2m. Die Atome bewegen sich also beschleunigt. Das Atom rechts im Bild erleidet einen Richtungswechsel in der Bewegung. Seine Geschwindigkeit sinkt und dann kommt eine Geschwindigkeitsumkehr. Die Zeitgleichung für das Atom lautet nach t aufgelöst:

w = c/2 (1 + v/(1m t))
x(t) = wt
x'(t) = γ (wt - vt)
t' = γ (t - v/c² x'(t))
t' = γ (t - v/c² γ (wt - vt))
t' = γ (t - v/c² γ ((c/2 (1 + v/(1m t)))t - vt))

Die Differenz von rechter und linker Seite ergibt eine quadratische Gleichung mit i.a. zwei Lösungen für t.

Die Animationssoftware rechnet jederzeit irgendeinen t-Wert (den `nächstbesten') aus und verwendet diesen. Die oben dargestellte Szene sieht herausgezoomt so aus:

AcceleratedBallonAnimation-c661-z05.gif (1000.67 KiB) 7444-mal betrachtet

Die Wahl des nächstbesten t-Wertes führt zu einem Objekt (Atom des Luftballons), das sich sehr schnell bewegt.



Das folgende Bild zeigt x(t) und t'(t) für ein Objekt, das entlang der x-Achse um den Ursprung schwingt. x(t) besteht abschnittsweise aus Parabeln. Die Zeitgleichung t'(t) ist nicht streng monoton wachsend:

Zeitgleichung.jpg (70.69 KiB) 7578-mal betrachtet

Fazit: Die Lorentztransformation ist für sich gesehen nicht bijektiv. Erst mit der zusätzlichen Forderung, dass bei Anwendung der mehrdeutigen Abbildung dasjenige Bild gewählt wird, für das t(t') stetig ist, ergibt sich eine bijektive Abbildung.

Gruß
Faber

P.S.: Die Geschwindigkeitswerte in den Bildern werden live näherungsweise berechnet.

[Gluon]

Hallo Herr Faber,

können Sie einmal erläutern, was Sie da eigentlich rechnen:

t' = γ (t - v/c² γ ((c/2 (1 + v/(1m t)))t - vt))

Die Differenz von rechter und linker Seite ergibt eine quadratische Gleichung mit i.a. zwei Lösungen für t.

Was muss man denn da nach t auflösen? Die Abbildung bildet jeden Punkt (x,t) eindeutig auf ein (x',t') ab. Die letzte zitierte Gleichung enthält nur noch die Konstanten v, c, γ und 1m und t, weil t auch als Parameter zur Parametrisierung der Punkte (x,t) dient x=x(t). Auflösen muss man da gar nichts, denn gefragt ist t' und das kommt nur links in der Gleichung als Ergebnis einfacher Algebra vor.

Vielleicht versuchen Sie hier ein x'(t') zu erhalten. Das ist tatsächlich nicht unbedingt möglich. Bijektiv ist eine Abbildung, wenn jedem Punkt (x,y) ein eindeutiger Punkt (x',y') zugeordnet wird. Da Sie hier x durch x(t)=wt festlegen, taucht t praktisch in zwei Bedeutungen auf: Einmal als Zeitkoordinate im ungestrichenen System und einmal als Parameter zur Definition der Menge von Punkten (x(t),t(t)). Vielleicht sollten Sie diesen Parameter anders nennen. Nehmen wir p. Dann definiert man x(p)=wp und t(p)=p und man kann auf die Punktmenge (x'(p),y'(p)) transformieren.

Für die Bijektivität ist es nicht notwendig, dass jedem x eindeutig ein x' und jedem t eindeutig ein t' zugeordnet wird.

Das Auftreten der Überlichtgeschwindigkeit in der Transformation und der Sprung in der x-Koordinate kommt mir dennoch (unabhängig von der Bijektivität) falsch vor. Wie wird denn v in dem Programm berechnet?

Gruß,
Gluon

[Faber]

Hallo Herr Faber,

können Sie einmal erläutern, was Sie da eigentlich rechnen:

t' = γ (t - v/c² γ ((c/2 (1 + v/(1m t)))t - vt))

Die Differenz von rechter und linker Seite ergibt eine quadratische Gleichung mit i.a. zwei Lösungen für t.

Was muss man denn da nach t auflösen? Die Abbildung bildet jeden Punkt (x,t) eindeutig auf ein (x',t') ab. Die letzte zitierte Gleichung enthält nur noch die Konstanten v, c, γ und 1m und t, weil t auch als Parameter zur Parametrisierung der Punkte (x,t) dient x=x(t). Auflösen muss man da gar nichts, denn gefragt ist t' und das kommt nur links in der Gleichung als Ergebnis einfacher Algebra vor.

Vielleicht versuchen Sie hier ein x'(t') zu erhalten.

Ja, ich will schließlich [ x'(t'), y'(t'), z'(t') ] erhalten, denn das ist die laut SRT gleichberechtigte Darstellung der Vorgänge in S'. Die Darstellung der Vorgänge in S ist durch die Trajektorien [ x(t), y(t), z(t) ] vorgegeben. Die gleichberechtigte Darstellung derselben Vorgänge in S' sind die Trajektorien [ x'(t'), y'(t'), z'(t') ]. Die Animationen zeigen jeweils beide. Der Ingenieur, der die Vorgänge in bezug auf S darstellt, malt die oberen Bilder, der Ingenieur, der die Vorgänge in bezug auf S' darstellt, malt die unteren Bilder.

Das ist tatsächlich nicht unbedingt möglich.

Da t'(t) i.a. nicht streng monoton steigend ist, ist die Umkehrfunktion t(t') keine Funktion, sondern bildet einen t'-Wert auf i.a. mehrere t-Werte ab. Um die Bilder für S' zu erstellen, lasse ich die Uhr in S' laufen, berechne aus den S'-Uhrzeiten t' S-Uhrzeiten t, um dann per x'(t) = γ (x(t) - vt), y'(t) = y(t), z'(t) = z(t) die räumlichen Koordinaten für das S'-Bild zum S'-Zeitpunkt t' zu erhalten.

Wenn ich z.B. t(t') für t' = 0 gegeben habe, dann kann ich danach alle Mehrdeutigkeit auflösen. Aus den i.a. mehreren t-Werten wähle ich immer denjenigen aus, der am nächsten an dem davor zuletzt ausgerechneten t-Wert liegt (denn die Zeit in S verläuft ja stetig und nicht sprunghaft.) Ich bin gerade dabei, das in Software zu gießen. Ist zwar noch nicht fertig, klappt aber prinzipiell.

Ungeklärt ist nun das `Anfangs-Problem'. Ich möchte [ x'(t'), y'(t'), z'(t') ] aus [ x(t), y(t), z(t) ] für t' = 0 berechnen. Zur Verfügung steht mir die Zeitgleichung t' = γ (t - v/c² x(t)), die bei t' = 0 zu 0 = γ (t - v/c² x(t)) wird. Diese Gleichung liefert mir i.a. mehrere t-Werte. Z.B. für x(t) = t² ergibt sich eine quadratische Gleichung 0 = γ (t - v/c² t²), die i.a. zwei t-Werte liefert. Man kann auch x(t)-Bewegungsabläufe wählen, die etwa um den Ursprung schwingen, wo dann 0 = γ (t - v/c² x(t)) unendlich viele t-Werte liefert. (Dabei lässt es sich auch problemlos vermeiden, dass das Objekt sich in S mit mehr als c bewegt.)

Für die Bijektivität ist es nicht notwendig, dass jedem x eindeutig ein x' und jedem t eindeutig ein t' zugeordnet wird.

Ja, es muss nur jedem (x;y;z;t) eineindeutig ein (x';y';z';t') zugeordnet werden. Habe ich nun ein Objekt, das mit x(t) = sin(ωt), y(t) = 0, z(t) = 0 beliebig langsam um den Ursprung schwingt, dann gibt es Probleme, zu bestimmen, welcher t-Wert, zu t' = 0 gehört (siehe das schwarz-weiß-Bild weiter oben).

Das Auftreten der Überlichtgeschwindigkeit in der Transformation und der Sprung in der x-Koordinate kommt mir dennoch (unabhängig von der Bijektivität) falsch vor. Wie wird denn v in dem Programm berechnet?

Die angezeigte Geschwindigkeit wird mittels einer kleinen zeitlichen Umgebung um den aktuellen Punkt auf der Trajektorie berechnet. (Auch ohne die Geschwindigkeitsanzeige sieht man den `ausgerissenen Punkt' von rechts her deutlich schneller herankommen als sich die Lichtsphäre ausdehnt.) Die Überlichtgeschwindigkeit ergibt sich dadurch, dass anhand des aktuellen t'-Wertes aus den mehreren t-Werten ein falscher ausgewählt wird. Die Software berücksichtigt(e) nicht, dass ein `stetiger' t-Wert gewählt werden muss; derjenige t-Wert, der am nächsten am vorigen t-Wert liegt. Das Bild gerät übrigens genau in dem Moment `aus den Fugen', in dem die Geschwindigkeit des entsprechenden `Atoms' auf 0 sinkt und dann das Vorzeichen umkehrt.

Gruß
Faber

[Gluon]

Hallo Faber,

Das ist tatsächlich nicht unbedingt möglich.

Da t'(t) i.a. nicht streng monoton steigend ist, ist die Umkehrfunktion t(t') keine Funktion, sondern bildet einen t'-Wert auf i.a. mehrere t-Werte ab. Um die Bilder für S' zu erstellen, lasse ich die Uhr in S' laufen, berechne aus den S'-Uhrzeiten t' S-Uhrzeiten t, um dann per x'(t) = γ (x(t) - vt), y'(t) = y(t), z'(t) = z(t) die räumlichen Koordinaten für das S'-Bild zum S'-Zeitpunkt t' zu erhalten.

Wenn ich z.B. t(t') für t' = 0 gegeben habe, dann kann ich danach alle Mehrdeutigkeit auflösen. Aus den i.a. mehreren t-Werten wähle ich immer denjenigen aus, der am nächsten an dem davor zuletzt ausgerechneten t-Wert liegt (denn die Zeit in S verläuft ja stetig und nicht sprunghaft.) Ich bin gerade dabei, das in Software zu gießen. Ist zwar noch nicht fertig, klappt aber prinzipiell.

Meines Erachtens kann dieses Mehrdeutigkeitsproblem nur auftreten, wenn im Ausgangsfall eine Geschwindigkeit größer c auftritt. In dem Schwingungsbeispiel vermute ich, dass die größte Steigung - also da, wo die Mehrdeutigkeit auftritt - im ungestrichenen System überlichtschnell ist. Stimmt das? Können Sie das mal überprüfen?

Dann müsste man als nächstes einmal überprüfen, ob im Ausgangsfall des beschleunigt expandierenden Luftballons das Problem verschwindet, wenn man sicherstellt, dass die Geschwindgkeit c nicht überschritten wird.

Gruß,
Gluon

[Faber]

Hallo Faber,

Das ist tatsächlich nicht unbedingt möglich.

Da t'(t) i.a. nicht streng monoton steigend ist, ist die Umkehrfunktion t(t') keine Funktion, sondern bildet einen t'-Wert auf i.a. mehrere t-Werte ab. Um die Bilder für S' zu erstellen, lasse ich die Uhr in S' laufen, berechne aus den S'-Uhrzeiten t' S-Uhrzeiten t, um dann per x'(t) = γ (x(t) - vt), y'(t) = y(t), z'(t) = z(t) die räumlichen Koordinaten für das S'-Bild zum S'-Zeitpunkt t' zu erhalten.

Wenn ich z.B. t(t') für t' = 0 gegeben habe, dann kann ich danach alle Mehrdeutigkeit auflösen. Aus den i.a. mehreren t-Werten wähle ich immer denjenigen aus, der am nächsten an dem davor zuletzt ausgerechneten t-Wert liegt (denn die Zeit in S verläuft ja stetig und nicht sprunghaft.) Ich bin gerade dabei, das in Software zu gießen. Ist zwar noch nicht fertig, klappt aber prinzipiell.

Meines Erachtens kann dieses Mehrdeutigkeitsproblem nur auftreten, wenn im Ausgangsfall eine Geschwindigkeit größer c auftritt.

Nein, aber so ähnlich.

Nehmen wir x(t) = t² m/s² (t Quadrat mal Meter pro Sekundequadrat) in einem geeignet kleinen Intervall t aus [-a, a], so dass die Geschwindigkeit im Intervall kleiner c bleibt. Dann ist t' = γ (t - v/c² x(t)) = γ (t - v/c² t² m/s²). Das ist eine Parabel, und außer für t' = 0 gibt es immer zu jedem t'-Wert zwei t-Werte. Auch dann, wenn keine Geschwindigkeit größer c auftritt. (Siehe Eingangsbeitrag.)

Das Mehrdeutigkeitsproblem tritt i.a. bei allen Szenarien auf, auch wenn sich alle Punkte immer langsamer als mit Lichtgeschwindigkeit bewegen.

Man kann dem Mehrdeutigkeitsproblem aber Abhilfe schaffen. Man muss den richtigen der i.a. mehreren t-Werte wählen, sonst treten Geschwindigkeiten größer c auf. Man findet den richtigen t-Wert so: Angenommen t(t') sei für t' = ta' bekannt: t(t' = ta') = ta. Dann errechnet man die i.a. mehreren Werte tb_k = t(t' = tb' = ta' + ɛ), k = 0,1,2,... aus und wählt aus diesen denjenigen aus, der am nächsten bei ta liegt (denn die Zeit t muss stetig verlaufen).

Die Software macht das nun im Prinzip so. (Sie geht allerdings noch schlauer vor und findet den richtigen tb-Wert auf Anhieb.)

Dabei bleibt aber noch folgendes Problem offen: Wie kommt man sicher an ein erstes t(t')-Paar, von dem man ausgehen kann? Je nach Trajektorie gibt es ein eindeutiges solches Paar oder auch nicht. Es bleibt zu untersuchen, ob es immer ein `richtiges' erstes t(t')-Paar gibt sowie ggf. wie man es sicher ermittelt. (Die Software findet zur Zeit offenbar immer ein `gutes' erstes Paar. Ob andere Paare gleichberechtigt gut genannt werden können, bleibt zu untersuchen.)

AcceleratedBallonAnimation-c661.gif (1.06 MiB) 7568-mal betrachtet

Die Lichtsphäre ist dunkel dargestellt. Sie breitet sich mit w = c aus. Der Luftballon ist hell dargestellt, seine Ausbreitungsgeschwindigkeit ist eine Funktion der Zeit w = w(t). Sie wächst von 0,50c auf 0,98c und bleibt dann konstant bei 0,98c. Mit wachsender Ausbreitungsgeschwindigkeit sinkt die Kontraktion des Luftballons in x'-Richtung in S', wie Herr Maurer es im anderen Strang beschrieben hat.

Die o.g. Mehrdeutigkeiten der Zeitgleichung treten erst dann auf, wenn die Szene beschleunigte Objekte zeigt. Möglicherweise aber auch nicht immer sondern nur, wenn die Geschwindigkeit eines Objektes einen Vorzeichenwechsel erleidet.

In dem Schwingungsbeispiel vermute ich, dass die größte Steigung - also da, wo die Mehrdeutigkeit auftritt - im ungestrichenen System überlichtschnell ist. Stimmt das? Können Sie das mal überprüfen?

Das oben genannte Parabelbeispiel beweist bereits, dass die Mehrdeutigkeit auch dann auftritt, wenn die Geschwindigkeit kleiner als Lichtgeschwindigkeit ist. Das Beispiel in dem schwarz-weiß-Bild zeigt eine sinusähnliche Trajektorie, die abschnittsweise aus Parabeln besteht. Man kann die Parabeln so wählen, dass die Geschwindigkeit unter c bleibt. Das Problem tritt dann bereits innerhalb einer vollständigen Periode auf, die um t = 0 zentriert ist.

Dann müsste man als nächstes einmal überprüfen, ob im Ausgangsfall des beschleunigt expandierenden Luftballons das Problem verschwindet, wenn man sicherstellt, dass die Geschwindgkeit c nicht überschritten wird.

Das Bild mit dem ausreißenden Punkt zeigt ja, dass der Punkt in dem Moment ausbricht, wo seine Geschwindigkeit gerade auf 0 geht, gerade einen Vorzeichenwechsel erleidet (das erkennt man auch ohne Geschwindigkeitsanzeige, der Punkt wird immer langsamer, bevor er ausbricht). Den Vorzeichenwechsel sieht man auch im neuen Bild, wo der Punkt nicht mehr ausreißt, weil die Software aus den mehreren t-Werten den richtigen heraussucht. Der richtige ist natürlich der, bei dem der Punkt nicht plötzlich viel schneller als c wird.

Gruß
Faber

[Gerhard Kemme]

Auf der folgenden DIN-A4 Seite zeige ich, dass die Lorentztransformation keine bijektive Abbildung ist. Es stellt sich heraus, dass ein in S konstant beschleunigter Körper in S' doppelt auftaucht - als sei in S' ein Alkoholverbot vonnöten.

Bisher bin ich eigentlich davon ausgegangen, dass sich die Lorentz-Transformation auf Inertialsysteme bezieht, d.h. es geht um kräftefreie Bewegungen, d.h. gleichförmige Geschwindigkeiten zwischen 0-c. Insofern sehe ich in deinen Einlassungen eine Überlastung des Konzeptes von LT und SRT.

[Faber]

Auf der folgenden DIN-A4 Seite zeige ich, dass die Lorentztransformation keine bijektive Abbildung ist. Es stellt sich heraus, dass ein in S konstant beschleunigter Körper in S' doppelt auftaucht - als sei in S' ein Alkoholverbot vonnöten.

Bisher bin ich eigentlich davon ausgegangen, dass sich die Lorentz-Transformation auf Inertialsysteme bezieht, d.h. es geht um kräftefreie Bewegungen, d.h. gleichförmige Geschwindigkeiten zwischen 0-c. Insofern sehe ich in deinen Einlassungen eine Überlastung des Konzeptes von LT und SRT.

Die Lorentztransformation transformiert die Darstellung D eines Vorgangs in der Wirklichkeit, die auf ein Inertialsystem S bezogen ist, in eine alternative Darstellung D' desselben Vorgangs in derselben Wirklichkeit, die auf ein Inertialsystem S' bezogen ist, das gegenüber S bewegt ist. Insofern bezieht sich die Lorentz-Transformation tatsächlich auf Inertialsysteme.

Die dargestellten Vorgänge unterliegen aber keinerlei Einschränkungen, außer was die Geschwindigkeiten von Objekten angeht.

Gruß
Faber

[Gluon]

Dabei bleibt aber noch folgendes Problem offen: Wie kommt man sicher an ein erstes t(t')-Paar, von dem man ausgehen kann?

Zum Beispiel durch die Rücktransformation. Man kann zwar im allgemeinen nicht nur aus einem t' auf das t zurückrechnen, aber man kann aus x' und t' jederzeit aus x und t zurückrechnen. Die Gleichung dazu dürfte bekannt sein:

t'=gamma(t-vx/c²)

t=gamma(t'+vx'/c²)

Aber die Hinrechnung ist ja eindeutig. Das heißt, ihr Programm braucht sich nur das Ausgangs-t merken. Ich nehme an, sie gehen den Weg mit der Bestimmung von t(t'), weil Sie in t' auch eine konstante Schrittweite brauchen, um die bewegten Bilder zu erzeugen. Sie können also nicht mit den t' arbeiten, die Ihnen die Schrittweite in t liefert, sondern wollen eine t'-Schrittweite vorgeben und daraus errechnen, welche Punkte zu transformieren sind.
Habe ich das so richtig verstanden?

Ich muss zugeben, dass ich mich zunächst geirrt hatte.

Gruß,
Gluon