Ein Tag ist um, deshalb genug getrollt und weiter im Text.
hat geschrieben:Wie weit kommt ein anfangs 10 m/sek habendes Objekt in 10 sek, wenn es in dieser Zeit einem kontinuierlichen
Crackpop von 10 m/sek⁷ ausgesetzt ist, und wie schnell ist es dann?
Hier haben wir inklusive der 0ten 8 Ableitungen der Position nach Zeit, von d0 bis d7 nummeriert. Es sind zwar außer zweien alle auf 0 gesetzt und kürzen sich zum Teil heraus, um die Lösung aber allgemein zu halten und damit das Muster nachvollziehbar bleibt lasse ich sie symbolisch mit einfliessen.
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Derivat Bezeichnung Initialwerte
x[t] Position d0 = 0 m/sek⁰
x'[t] Geschwindigkeit d1 = 10 m/sek¹
x''[t] Beschleunigung d2 = 0 m/sek²
x'''[t] Ruck d3 = 0 m/sek³
x''''[t] Wupptizität d4 = 0 m/sek⁴
x'''''[t] Crackle d5 = 0 m/sek⁵
x''''''[t] Pop d6 = 0 m/sek⁶
x'''''''[t] Crackpop d7 = 10 m/sek⁷
Die Differentialgleichung für konstante Geschwindigkeit, also die erste Ableitung, lautet
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{x'[t] == d1, x[0] == d0}, x[t], t
Die Funktion für die Position nach Zeit reduziert sich bekanntlich auf
Position = ... + Zeit mal Geschwindigkeit:
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x[t] → d0 + t*d1
Nehmen wir eine Beschleunigung dazu wird daraus
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{x''[t] == d2, x'[0] == d1, x[0] == d0}, x[t], t
Was sich zusätzlich zur Initialgeschwindigkeit reduziert auf
Position = ... + Halbe Beschleunigung mal Quadratzeit:
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x[t] → d0 + d1 t + d2/2 t^2
So weit dürfte das jedem gebildeten Menschen bekannt vorkommen, wenn man sich statt d1 ein v und statt d2 ein a vorstellt. Da hier aber 7 Ableitungen vorkommen verwenden wir weiter die d# Notation mit der Einheit m/sek^#. Nun kommt also der Ruck d3 dazu, der mit der Einheit m/sek³ logischerweise mit Zeit³ multipliziert gehört um eine Strecke zu ergeben:
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{x'''[t] == d3, x''[0] == d2, x'[0] == d1, x[0] == d0}, x[t], t
Dafür erhalten wir ein
Position = ... + Ruck durch 6 mal Kubikzeit:
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x[t] → d0 + d1 t + d2/2 t^2 + d3/6 t^3
Wie man sieht zeichnet sich hier ein Muster ab:
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x[t] → Σ[d_n/n!, n=0..3]
was bei 7 Ableitungen dann
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x[t] → Σ[d_n/n! t^n, n=0..7]
also ausgeschrieben
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x[t] → d0/0! t^0 + d1 /1! t^1 + d2/2! t^2 + d3/3! t^3 + d4/4! t^4 + d5/5! t^5 + d6/6! t^6 + d7/7! t^7
wäre. Mit den vorgegebenen Zahlen aus dem Beispiel erhalten wir also eine zurückgelegte Strecke von
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x[10 sek] → 19941.3 m
Statt einem konstanten Wert wie d7 = 10 m/sek⁷ kann man natürlich auch dynamische Funktionen wie d# = C[1]·Sin[t/C[2]] oder was auch immer einsetzen.
Tutorial:
https://www.khanacademy.org/math/differential-calculus/taking-derivatives/derivative_intro/v/calculus-derivatives-1https://khanacademy.org/math/integral-calculus/indefinite-definite-integrals/indefinite_integrals/v/antiderivative-accelerationDas Rätsel lösend,