|
Hallo Sebastian und Bruno
Wie nicht anders zu erwarten wird die Lichtablenkung mit der klassischen Näherung einer asymptotisch flachen Raumzeit unterschätzt. Im Bereich der Sonnenoberfläche kann sie dennoch bedenkenlos angewendet werden. Hier die Werte:
1.7509498 Bogensekunden mit der klassischen Näherung 1.7509572 Bogensekunden mit der Schwarzschild-Metrik
Im Bereich der Oberfläche eines Neutronensterns mit der 1.4fachen Sonnenmasse und einem Radius von 20 Kilometern ergibt sich jedoch ein beträchtlicher Unterschied:
23.6962 Winkelgrade mit der klassischen Näherung 29.8737 Winkelgrade mit der Schwarzschild-Metrik
Der Formalismus ist für beide Berechnungen identisch, weshalb ich für die Lichtablenkung nur den Maple In- und Output am Neutronenstern aufliste.
Die gravitative Zeitdilatation eines 100 Meter hohen Turmes auf dem Neutronenstern pro Sekunde:
-0.0005144s asymptotisch flache Raumzeit (klassische Näherung) -0.0006481s Schwarzschild-Metrik
Gruss
Input:
# Lichtablenkung an einem Neutronenstern: restart; Digits:=20; m:=1.4*1.989e30; G:=6.67428e-11; c:=299792458; a:=G*m/c^2; theta:=0;phi:=0; r_s:=2*a; r:=20000; # klassische Näherung: d_Rad:=4*G*m/(r*c^2); d_Grad:=evalf(d_Rad*180/Pi); # Schwarzschild-Metrik: unassign('r'); with (linalg): g_ik:=matrix(4,4,[int(sqrt(1-2*a/r),r=20000..1e50),0,0,0,0,-int(sqrt(1/(1-2*a/r)),r=20000..1e50),0,0,0,0,-int(r,r=20000..1e50),0,0,0,0,-int(r*(sin(theta)^2),r=20000..1e50)]); r:=20000; x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]); x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu); t_S:=eval(x_mu_S[1,1]); r_S:=eval(x_mu_S[2,1]); d_Rad:=-2*(r_S/t_S+1); d_Grad:=evalf(d_Rad*180/Pi);
Output:
Digits := 20 m := .27846e31 G := .667428e-10 c := 299792458 a := 2067.8823919680914218 theta := 0 phi := 0 r_s := 4135.7647839361828436 r := 20000 d_Rad := .41357647839361828436 d_Grad := 23.696186717837807625 g_ik := matrix([[.10000000000000000000e51, 0, 0, 0], [0, -.10000000000000000000e51, 0, 0], [0, 0, -.50000000000000000000e100, 0], [0, 0, 0, 0]]) r := 20000 x_mu := matrix([[.89062436571384619727], [1.1228078171861915202], [0], [0]]) x_mu_S := matrix([[.89062436571384619727e50], [-.11228078171861915202e51], [0], [0]]) t_S := .89062436571384619727e50 r_S := -.11228078171861915202e51 d_Rad := .5213947886688401554 d_Grad := 29.873720850840017993 >
Input:
# gravitative Zeitdilatation:
restart; Digits:=20; m:=1.4*1.989e30; G:=6.67428e-11; c:=299792458; a:=G*m/c^2; theta:=0;phi:=0; r_s:=2*a; r1:=20000;r2:=20100; dE_pot:=m*G*(-1/r1+1/r2)/c^2; # Schwarzschild-Metrik: with (linalg): g_ik:=matrix(4,4,[int(sqrt(1-2*a/r),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(sqrt(1/(1-2*a/r)),r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r,r=r1..r2),0,0,0,0,-int(r*(sin(theta)^2),r=r1..r2)]); r:=20000; x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]); x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu); t_S1:=eval(x_mu_S[1,1]); r_S1:=eval(x_mu_S[2,1]); r:=20100; x_mu:=matrix(4,1,[sqrt(1-r_s/r),sqrt(1/(1-r_s/r)),sqrt(theta),sqrt(phi)]); x_mu_S:=multiply(g_ik,x_mu); t_S2:=eval(x_mu_S[1,1]); r_S2:=eval(x_mu_S[2,1]); dt:=(t_S1-t_S2)/(t_S1+t_S2)*2;
Output:
Digits := 20 m := .27846e31 G := .667428e-10 c := 299792458 a := 2067.8823919680914218 theta := 0 phi := 0 r_s := 4135.7647839361828436 r1 := 20000 r2 := 20100 dE_pot := -.51439860496718692085e-3 g_ik := matrix([[89.091356865936533, 0, 0, 0], [0, -112.244337742589751, 0, 0], [0, 0, -2005000, 0], [0, 0, 0, 0]]) r := 20000 x_mu := matrix([[.89062436571384619727], [1.1228078171861915202], [0], [0]]) x_mu_S := matrix([[79.346933199310641142], [-126.02881985226685013], [0], [0]]) t_S1 := 79.346933199310641142 r_S1 := -126.02881985226685013 r := 20100 x_mu := matrix([[.89120174933239736750], [1.1220803827518334848], [0], [0]]) x_mu_S := matrix([[79.398373089319529222], [-125.94716945593117707], [0], [0]]) t_S2 := 79.398373089319529222 r_S2 := -125.94716945593117707 dt := -.64808076801162547460e-3 >
|