Habe ich richtig gerechnet?

[Sebastian Hauk]

Hallo,

ich möchte gerne von Euch wissen ob richtig gerechnet habe:

Ein Raumschiff entfernt sich mit einer Geschwindigkeit von 100.000 km/s von der Erde. Im Raumschiff sollen sich zwei Uhren befinden. Nun soll eine Uhr B vom Raumschiff Richtung Erde fliegen. Die Uhr B soll mit einer Geschwindigkeit von 140.000 km/s, vom Raumschiff aus gemessen, Richtung Erde fliegen. Die Uhr B soll eine Strecke, von der Erde aus gemessen, von 100.000 km zurücklegen

Es soll ausgerechnet werden, welche Uhrzeit die Raumschiffbesatzung und die Menschen auf der Erde auf der Uhr sehen, wenn die Uhr ihr Ziel erreicht hat.

Hier ist die ursprüngliche Rechnung bei einer Raumschiffgeschwindigkeit von 100.000 km/s.

Gegeben:
S – Erde; v(R) = 10⁸ m/s
S’’ – Raumschiff; u’(B)=-1,4*10⁸ m/s; w’(E)= -10⁸ m/s
S’’ – Uhr B: v’’(R)=1,4*10⁸ m/s
Nach dem wir mit der Formel:
u=(u’- v)/(1- u’*v/c ²)
die Geschwindigkeit der Uhr B relativ zur Erde ermittelt haben, sind alle relativen Geschwindigkeiten bekannt:
S – Erde: v(R)=10⁸ m/s; u(UB) = -0,47380509757*10⁸ m/s
S’ – Raumschiff: u’(B)=-1,4*10⁸ m/s; w’(E)= -10⁸ m/s
S’’ – Uhr B: v’’(R)=1,4*10⁸ m/s; w’’(E)= 0,47380509757*10⁸ m/s.
Damit können wir γ berechnen.
γ = 1/(1-v²/c ²)
Aus der Sicht der Erde (S):
γ(R) = 1,0607520004; γ(B) = 1,0127279532
Aus der Sicht des Raumschiffes (S’):
γ’(E) = 1,0607520004; γ’(B) = 1,1308856039
Aus der Sicht der Uhr B (S’’):
γ’’(R) = 1,1308856039; γ’’(E) = 1,0127279532
Nun berechnen wir, wie lange das Raumschiff und Uhr B für 10⁸m, gemessen von der Erde aus, brauchen werden:
Aus der Sicht der Erde - L(Ruhe)=10⁸m:
Δt(R) = L(Ruhe)/v(Raumschiff) = 1s; Δt(B) = L(Ruhe)/u(Uhr B) = 2,1105724804 s
Aus der Sicht des Raumschiffes - L(R) = L(Ruhe)/γ(R) = 9,4272742317*10⁷m:
Δt’(R) = L(R)/ v(Raumschiff) = 0,94272742317 s;
Aus der Sicht der Uhr B - L(B)= L(Ruhe)/ γ(B)= 9,8743201160E*10⁷m:
Δt’’(B)= L(B)/u(Uhr B) = 2,0840468299 s;
Vergleichen wir das Zwischenergebnis.
Mit der Formel für Eigenzeit:
Δt = γ∙Δt(Eigenzeit) =>
Δt’(R) = Δt(R)/γ(R) = 1/1,0607520004 [s] = 0,94272742317 s,
Δt’’(B) = Δt(B)/γ(B) = 2,1105724804/1,0127279532 [s] = 2,0840468299 s.
Jetzt wollen wir das Ganze noch aus der Sicht des Raumschiffes betrachten, ob Uhr B auch für seine Besatzung 2,0840468299 s anzeigt. Als erstes müssen wir die Entfernung bestimmen, welche die Uhr B relativ zum Raumschiff zurücklegt, wenn sie das Ziel erreicht hat. Dazu bedienen wir uns zuerst der Sicht der Erde. Aus ihrer der Sicht legt das Raumschiff in
Δt(B) = 2,1105724804 s
eine Entfernung
l = v(R) ∙ Δt(B) = 2,1105724804 ∙10⁸ m
zurück, und die Uhr B - L(Ruhe)=10⁸ m. Nach der Addition beider Werte bekommen wir die Entfernung zwischen der Uhr B und dem Raumschiff von der Erde aus gesehen L(R-B):
L(R-B) = l + L(Ruhe) = 3,1105724804 ∙10⁸ m.
Diese Entfernung ist aber nicht die Ruheentfernung aus der Sicht des Raumschiffes, sondern die kontrahierte davon. Um die Ruheentfernung zwischen dem Raumschiff und der Uhr aus der Sicht des Raumschiffes L’(Ruhe) zu ermitteln, müssen wir gemäß der Formel:
L(Ruhe) = γ ∙ L
diese noch mit γ(R) multiplizieren:
L’(Ruhe) = γ(R) ∙ L(R-B) = 1,0607520004 ∙ 3,1105724804 ∙10⁸ m = 3,2995459811 ∙10⁸ m
Mit diesem Ergebnis können wir nun die Zeit berechnen, die die Uhr B aus der Sicht des Raumschiffes benötigt, um das Ziel zu erreichen:
Δt’(B) = L’(Ruhe)/ u’(B) = 3,2995459811 ∙10⁸ / 1,4*10⁸ s = 2,3568185579 s.
Und die Eigenzeit der Uhr B:
Δt’’(B) = Δt’(B)/γ’(B) = 2,3568185579 / 1,1308856039 s = 2,0840468299 s
was zu beweisen galt.


Gruß Sebastian

[Sebastian Hauk]

Hallo,

und hier ist nun meine Rechnung bei einer Raumschiffgeschwindigkeit von 80.000 km/s. (Alle anderen Werte habe ich nicht geändert)

Gegeben:
S – Erde; v(R) = 80.000 km/s
S’’ – Raumschiff; u’(B)=-140.000 km/s; w’(E)= -80.000 km/s
S’’ – Uhr B: v’’(R)=140.000 km/s
Nach dem wir mit der Formel:
u=(u’- v)/(1- u’*v/c ²)
die Geschwindigkeit der Uhr B relativ zur Erde ermittelt haben, sind alle relativen Geschwindigkeiten bekannt:
S – Erde: v(R)= 80.000 km/s; u(UB) = -68.541,4119 km/s
S’ – Raumschiff: u’(B)=-140.000 km/s; w’(E)= -80.000 km/s
S’’ – Uhr B: v’’(R)= 140.000 km/s; w’’(E)= 68.541,4119 km/s
Damit können wir γ berechnen.
γ = 1/(1-v²/c ²)
Aus der Sicht der Erde (S):
γ(R) = 1,037626708; γ(B) = 1,027207122
Aus der Sicht des Raumschiffes (S’):
γ’(E) = 1,037626708; γ’(B) = 1,1308856039
Aus der Sicht der Uhr B (S’’):
γ’’(R) = 1,1308856039; γ’’(E) = 1,027207122
Nun berechnen wir, wie lange das Raumschiff und Uhr B für 100.000 km, gemessen von der Erde aus, brauchen werden:
Aus der Sicht der Erde - L(Ruhe)=100.000 km:
Δt(R) = L(Ruhe)/v(Raumschiff) = 1,25 s; Δt(B) = L(Ruhe)/u(Uhr B) = 1,458971988 s
Aus der Sicht des Raumschiffes - L(R) = L(Ruhe)/γ(R) = 96.373,77221 km
Δt’(R) = L(R)/ v(Raumschiff) = 0,9637377221 s;
Aus der Sicht der Uhr B - L(B)= L(Ruhe)/ γ(B)= 97.351,34995 km
Δt’’(B)= L(B)/u(Uhr B) = 1,420328926 s
Vergleichen wir das Zwischenergebnis.
Mit der Formel für Eigenzeit:
Δt = γ∙Δt(Eigenzeit) =>
Δt’(R) = Δt(R)/γ(R) = 1/1,037626708 [s] = 0,963737722 s,
Δt’’(B) = Δt(B)/γ(B) = 1,458971988/1,027207122 [s] = 1,420328926 s
Jetzt wollen wir das Ganze noch aus der Sicht des Raumschiffes betrachten, ob Uhr B auch für seine Besatzung 1,420328926 s anzeigt. Als erstes müssen wir die Entfernung bestimmen, welche die Uhr B relativ zum Raumschiff zurücklegt, wenn sie das Ziel erreicht hat. Dazu bedienen wir uns zuerst der Sicht der Erde. Aus ihrer der Sicht legt das Raumschiff in
Δt(B) = 1,458971988 s
eine Entfernung
l = v(R) ∙ Δt(B) = 116.717,759 km
zurück, und die Uhr B - L(Ruhe)= 100.000 km. Nach der Addition beider Werte bekommen wir die Entfernung zwischen der Uhr B und dem Raumschiff von der Erde aus gesehen L(R-B):
L(R-B) = l + L(Ruhe) = 216.717,759 km.
Diese Entfernung ist aber nicht die Ruheentfernung aus der Sicht des Raumschiffes, sondern die kontrahierte davon. Um die Ruheentfernung zwischen dem Raumschiff und der Uhr aus der Sicht des Raumschiffes L’(Ruhe) zu ermitteln, müssen wir gemäß der Formel:
L(Ruhe) = γ ∙ L
diese noch mit γ(R) multiplizieren:
L’(Ruhe) = γ(R) ∙ L(R-B) = 1,037626708 ∙ 216.717,759 km = 224.872,1348 km
Mit diesem Ergebnis können wir nun die Zeit berechnen, die die Uhr B aus der Sicht des Raumschiffes benötigt, um das Ziel zu erreichen:
Δt’(B) = L’(Ruhe)/ u’(B) = 224.872,1348 / 140.000 s = 1,606229535 s
Und die Eigenzeit der Uhr B:
Δt’’(B) = Δt’(B)/γ’(B) = 1,606229535 / 1,1308856039 s = 1,420328927 s
was zu beweisen galt.


Gruß
Sebastian

[Sebastian Hauk]

Hallo,

eine Antwort wäre mir schon wichtig, weil das RP nämlich besagt, dass es für ein Experiment egal ist, wie schnell sich ein Objekt bewegt.

Hier ein Auszug aus der Beschreibung von Galilei:[1]

S. 197ff: Schließt Euch in Gesellschaft eines Freundes in einen möglichst großen Raum unter dem Deck eines großen Schiffes ein. Verschafft Euch dort Mücken, Schmetterlinge und ähnliches fliegendes Getier; sorgt auch für ein Gefäß mit Wasser und kleinen Fischen darin; hängt ferner oben einen kleinen Eimer auf, welcher tropfenweise Wasser in ein zweites enghalsiges darunter gestelltes Gefäß träufeln läßt. Beobachtet nun sorgfältig, solange das Schiff stille steht, wie die fliegenden Tierchen mit der nämlichen Geschwindigkeit nach allen Seiten des Zimmers fliegen. Man ward sehen, wie die Fische ohne irgend welchen Unterschied nach allen Richtungen schwimmen; die fallenden Tropfen werden alle in das untergestellte Gefäß fließen. Wenn Ihr Euerem Gefährten einen Gegenstand zuwerft, so braucht Ihr nicht kräftiger nach der einen als nach der anderen Richtung zu werfen, vorausgesetzt, daß es sich um gleiche Entfernungen handelt. Wenn Ihr, wie man sagt, mit gleichen Füßen einen Sprung- macht, werdet Ihr nach jeder Richtung hin gleichweit gelangen. Achtet darauf, Euch aller dieser Dinge sorgfältig zu vergewissern, wiewohl kein Zweifel obwaltet, daß bei ruhendem Schiffe alles sich so verhält. Nun laßt das Schiff mit jeder beliebigen Geschwindigkeit sich bewegen: Ihr werdet — wenn nur die Bewegung gleichförmig ist und nicht hier- und dorthin schwankend — bei allen genannten Erscheinungen nicht die geringste Veränderung eintreten sehen. Aus keiner derselben werdet Ihr entnehmen können, ob das Schiff fährt oder stille steht. [...] Die Ursache dieser Übereinstimmung aller Erscheinungen liegt darin, daß die Bewegung des Schiffes allen darin enthaltenen Dingen, auch der Luft, gemeinsam zukommt. Darum sagte ich auch, man solle sich unter Deck begeben, denn oben in der freien Luft, die den Lauf des Schiffes nicht begleitet, würden sich mehr oder weniger deutliche Unterschiede bei einigen der genannten Erscheinungen zeigen.

http://de.wikipedia.org/wiki/Relativit%C3%A4tsprinzip

Bei meiner zweiten Rechnung würde die Raumschiffbesatzung bei identischer Durchführung des Experiments eine andere Uhrzeit auf der Uhr B sehen. Das darf laut dem RP nicht sein.

Die SRT muss dieses also irgendwie hinbekommen. Aber ersteinmal möchte ich wissen, ob ich richtig gerechnet habe.

Gruß

Sebastian

[Uli]

Hallo,

und hier ist nun meine Rechnung bei einer Raumschiffgeschwindigkeit von 80.000 km/s. (Alle anderen Werte habe ich nicht geändert)
Gruß
Sebastian

Und welche Zahlen bekommst du für 89300 km/s ?
Die Antwort ist extrem wichtig, da die SRT mit ihr steht bzw fällt.

Gruß,
Uli

[Sebastian Hauk]

Es reicht für eine Widerlegung der SRT aus, dass nur bei zwei verschiedenen Geschwindigkeiten etwas anderes rauskommt.

Das RP gilt es ja für alle Geschwindigkeiten.

Gruß

Sebastian

[Sebastian Hauk]

Hallo,

habe gerade gemerkt, dass es bei dieser Aufgabenstellung vollkommen egal ist, wenn die Raumschiffbesatzung unterschiedliche Zeiten misst.

Gruß

Sebastian

[Sebastian Hauk]

Hallo,

ich habe mir mal die Rechnung angesehen und folgendes rausgefunden:

Bei der nichtrelativistischen Mechanik würde sich eine Geschwindigkeit der Uhr von 40.000 km/s in Bezug zu der Entfernung von 100.000 km, die zur Erde ruht ergeben (100.000 km/s - 140.000 km/s = -40.000 km/s).

Bei der SRT ergibt sich nun aufgrund des negativen Additionstheorems und der Zeitdilatation der Uhr B von 1,0127279532 (Geschwindigkeit der Uhr in Bezug zur Erde) eine Geschwindigkeit von 47.380,51 km/s.

oder auch 40.000 km/s * 1,1308856039 * 1,0607520004 / 1,0127279532 = 47.380,51

Im Raumschiff gleicht sich das wieder aus, weil hier die Länge * 1,0607520004 und die Zeit / 1,1308856039 genommen wird.

Übrig bleiben dann nur die 1,0127279532.

Einwände dagegen?

Gruß

Sebastian