Wie man mit einer gewöhnlichen
Lochkamera
die Spezielle Relativitätstheorie ab absurdum führen kann

Schon als Kind bastelte ich mir eine Lochkamera (camera obscura). Die Bildfläche gestaltete ich mit Pergamentpapier, so dass ich die lichtschwachen Projektionen gleich sehen konnte, die erstaunlicherweise immer auf dem Kopf standen. Damals konnte ich nicht ahnen, dass viele Jahrzehnte später genau so eine primitive Kamera mir ein Mittel liefern würde, eine der berühmtesten Theorien der Physik zu hinterfragen.

Dieses Bild basiert auf dem Bild Lochkamera prinzip.jpg aus der freien Enzyklopädie Wikipedia und steht unter der GNU-Lizenz für freie Dokumentation. Der Urheber des Bildes ist Anton (rp) 2004.

Eine Lochkamera ist ein Fotoapparat, der keine Linsen verwendet. Statt dessen wird das Bild auf der Bildfläche durch eine winzig kleine Öffnung in der Vorderseite des Kameragehäuses erzeugt. Der kleine Lochdurchmesser beschränkt die Strahlenbündel des Lichts auf einen kleinen Öffnungswinkel und verhindert so die vollständige Überlappung. Strahlen vom oberen Bereich eines Gegenstands fallen auf den unteren Rand des Bildfeldes, Strahlen vom unteren Bereich werden nach oben weitergeleitet. Jeder Punkt des Gegenstands wird als winziges Scheibchen auf der Projektionsfläche abgebildet. So entsteht ein Bild, dessen Schärfe vom Abstand des Gegenstands und der Form bzw. dem Durchmesser der Blende abhängt. Die Größe des projizierten Bildes (der Bildkreisdurchmesser) und der entweder normale, weitwinkelige oder vergrößernde Eintrittswinkel (Bildwinkel) hängt vom Abstand des Bildfeldes zum Loch ab (die Bildweite, manchmal auch nicht ganz richtig Brennweite genannt ). Die Lochgröße beeinflusst die Bildschärfe, aber auch die Lichtmenge - entspricht also der Blende bei Apparaten mit Linsen.

Wir könnten uns eine kleine camera obscura basteln (1), die einen Abstand der Bildfläche zum Loch von 100 mm hat. Die optimale Blende sollte dann einen Durchmesser von 0,37 mm haben, um ein scharfes Bild zu erhalten. Der Bildkreisdurchmesser ergibt sich demnach mit 384 mm, der Bildwinkel beträgt dann 33 Grad - das dargestellte Objekt erscheint so auf der Bildfläche, als wäre ein ganz leichtes Teleobjektiv in Verwendung.(2) Unserem Auge enspräche übrigens ein Bildwinkel von 40 Grad. (Bildwinkel über 50 Grad bezeichnet man als Weitwinkel). Alle diese Verhältnisse bleiben bei einer relativ zu einem Beobachter "ruhenden" Kamera konstant (3). Wenn sich die Kamera relativ zum Objekt (Motiv) bewegt, verändert sich dadurch aufgrund der endlichen Lichtgeschwindigkeit der Bildwinkel, was zur Unschärfe führen kann.(6) Doch außer dieser Veränderung interessiert uns besonders die Antwort auf folgende Frage: Was geschieht, wenn sich die Kamera relativ zu einem "Beobachter" bewegt?

Einer der berühmten Effekte der Speziellen Relativitätstheorie besteht aus der Kontraktion der in der Bewegungsrichtung liegenden Längen, man nennt das die Lorentzkontraktion. Diese Kontraktion wird aber nur von einem anderen, im relativ dazu bewegten Bezugssystem befindlichen Beobachter wahrgenommen. Wenn wir also unsere Lochkamera bewegen, kommt dieser von der SRT behauptete Effekt für diesen zum Tragen. Die Kamera wird in Bewegungsrichtung um den Faktor

längenkontrahiert - also verkürzt (v bezeichnet hier die Geschwindigkeit der Kamera, c ist die Lichtgeschwindigkeit). Natürlich ist bei alltäglichen Geschwindigkeiten dieser Faktor praktisch kaum messbar: Bei v = 100 km/h beträgt er zum Beispiel (1-4*10^-15).

Bei 90% der Lichtgeschwindigkeit soll die Lochkamera aber immerhin auf ca. 43,5 % ihrer Ruhelänge verkürzt sein. Der auf 43,5 mm verkürzte Abstand zwischen Lochblende und Bildfeld müsste gravierende optische Veränderungen bewirken. Der relativ zur Kamera ruhende Beobachter müsste nun auf der transparenten Bildfläche ein leicht unscharfes Bild sehen (denn der optimale Lochdurchmesser wäre nun 0,245 mm!), der Bildkreisdurchmesser schrumpft auf ~169 mm und der Bildwinkel erhöht sich auf ~69 Grad, ein Weitwinkel also, der das Objekt stark verkleinert zur Abbildung bringt (4). Ob sich die Kamera zum Beobachter oder von ihm weg bewegt, müsste gemäß SRT bzw. dem Relativitätsprinzip gleichgültig sein. Ebenso gleichgültig müsste es sein, wenn sich das Objekt bewegt.

Das Interessante an diesen Effekten ist die Aussage der SRT, dass ein im Bezugssystem der Kamera befindlicher Beobachter, also ein mit der Kamera mitbewegter, diese Längenkontraktion nicht wahrnimmt. Die Eigenlänge der Kamera verändert sich im Eigensystem (Ruhsystem der Kamera) keinesfalls. Eine Bildveränderung in diesem Eigensystem ist nur durch die passive Aberration aufgrund der Bewegung relativ zum Objekt möglich, wobei diese Aberration nicht auftritt, wenn sich die Kamera vom Objekt entfernt (5).

Wenn die Bildfläche der Kamera transparent ausgeführt ist, so dass das Bild von beiden Beobachtern wahrgenommen werden kann, tauchen einige interessante Fragen auf (auch bei einem eingelegten Film ergeben sich dieselben Fragen). Was wird der ruhende Außenbeobachter (im Bild unten der Mann auf dem Stuhl) eigentlich auf der Projektionsfläche der Kamera zu sehen sehen bekommen? Oder genauer: welches Bild wird er aufgrund der gegebenen Situation erwarten? Das verkleinerte Bild, das der "relativistisch" bewegten Kamera entspricht ... oder das (je nach Bewegung) unveränderte, nur unwesentlich verkleinerte oder auch vergrößerte Bild, das im Ruhesystem der Kamera auftritt? Was würde die unbestechliche, lichtempfindliche Schicht eines eingelegten Films festhalten? Das eine Bild oder das andere Bild? Je nach Bezugssystem ein scharfes oder unscharfes oder ein verzerrtes Bild? Oder alles zugleich als unscharfes Durcheinander? Welches Bild sieht oder erwartet andererseits der mitbewegte Beobachter in der Kamera, für welchen die Kamera ruht und sich dagegen das Objekt bewegt?

Oder anders gefragt: Sind die optischen Naturgesetze von der Wahl des Bezugssystems abhängig, weil ein für beide Beobachter gültiges, identisches Bild zustandekommen muss, was der verkürzten Kamera bzw. der verkürzten Strecke zum Objekt gar nicht entspricht? Erzeugt die relativistisch verkürzte Kamera für den Außenbeobachter kein Weitwinkelbild, und für den Kamerabeoachter die größere Nähe des Objekts keine Fernaufnahme - so wie dies jeweils im statischen Fall geschehen würde? Denn ein Film kann jedenfalls ohne Doppelbelichtung nicht zwei unterschiedliche Bilder - für jeden Beobachter sein eigenes? - gleichzeitig festhalten. Es darf daher nur ein Bild herauskommen, das aus beiden Bezugssystemen gesehen gleichermaßen ohne jeden Unterschied gültig ist. Niemand wird daran zweifeln, dass dies eine praktische Durchführung des Experimentes auch erbringen würde. Andernfalls müsste man ja die Gültigkeit des Relativitätsprinzips anzweifeln. Und wer wagt das schon! Ich werde dennoch zeigen, dass streng im Rahmen der Speziellen Relativitätstheorie getroffene Voraussagen des Bildinhaltes zu widersprüchlichen Ergebnissen führen, die auch nicht mit Anwendung der Lorentztransformation zu beseitigen sind!

Das dem Paradoxon zugrunde gelegte Ereignis ist einfach zu beschreiben: Eine auf ein Objekt (Motiv) zu bewegte Lochkamera macht durch kurzes Öffnen der Lochblende ein Foto. Das Relativitätsprinzip fordert, dass dieses Foto unabhängig davon, ob sich die Kamera oder das Objekt bewegt, völlig identisch ausfällt. Die folgende Betrachtung bezieht sich auf eine mit 89 % der Lichtgeschwindigkeit bewegte Kamera. Es ist also eines jener utopischen Gedankenexperimente, wie sie in der SRT Tradition sind.

Zu Fall 1: Lochkamera und Objekt ruhen zueinander. Wie auch in den folgenden Fällen (3 und 4, ausgenommen Fall 2!) hält die Zeichnung den Moment fest, in welchem Photonen, welche von den Rändern des Objekts (Motiv) stammen, durch die Lochblende in die Kamera eintreten. Alle Photonen, die sich in diesem Augenblick in der Lochblende befinden und noch den Weg zur Bildfläche vor sich haben, repräsentieren hier virtuell das enstehende Bild, das der Film aufnehmen wird. Die Größe der Darstellung des Motivs wird aber noch durch den Bildwinkel bestimmt. Da nur in diesem Moment die Lochblende kurz geöffnet ist, werden hier die Koordinaten x (Ort) und t (Zeit) mit 0 angenommen. Das bedeutet, dass rechts von der Lochblende die Strecke zum Emissionspunkt der Photonen zur Darstellung kommt (der bereits zurückgelegte Weg), wogegen links davon noch allenfalls die Strecke zur Bildfläche zu berücksichtigen ist (der noch bevorstehende Weg). Die Bahn jedes Photons ist gekennzeichnet durch den Emissionspunkt, den Eintrittspunkt und den Absorptionspunkt. Photonen bewegen sich im Vakuum mit c und stets streng linear. Zu betonen wäre auch, dass die Photonen von der Mitte des Objekts früher zur Lochblende gelangen wie jene von den Rändern, demnach ist die Verzerrung auch umso größer, je näher sich das Objekt befindet. Das Bild, das im statischen Fall 1 zur Belichtung kommt, wollen wir "Normalbild" nennen. Eine Aufnahme des Objekts aus größerer Entfernung werden wir als "Fernaufnahme" und eine Nahaufnahme als "Weitwinkelbild" bezeichnen. Zu Fall 2: Es liegen als Bezugsssysteme definitiv somit zwei Inertialsysteme vor. Eines, das sich mit der Kamera bewegt und eines, das sich mit dem Objekt bewegt. Wir werden in der Folge einfach vom Kamerasystem und vom Objektsystem sprechen. Ein mitbewegter Beobachter möge sich im Kamerasystem (Kamerabeobachter) und ein anderer im Objektsystem (Objektbeobachter) befinden. Da die SRT nur Relativbewegungen kennt und die Inertialsysteme gleichberechtigt sind, kann nun sowohl von der Bewegung der Kamera als auch von der Bewegung des Objekts ausgegangen werden. Für jedes Bezugssystem existiert definitiv ein "Ruhsystem", zu welchem das andere Inertialsystem bewegt erscheint. Der Fall 2 behandelt somit die Variante des bewegten Objektsystems bei ruhender Kamera. Ein Beobachter in der Kamera befände sich demnach definitiv im Ruhsystem der Kamera. Aufgrund der Relativbewegung ist das Objektsystem auf 45,45 % verkürzt (Relativistischer Faktor 1/Gamma =0,4545). Der Kameraverschluss öffnet sich exakt bei x=0,t=0. Durch Fernsteuerung oder Triggerung an Landmarken kann sicher gestellt werden, dass dies dieselbe Stelle ist, an welcher wir mit der statischen Kamera vergleichsweise ein Bild aufgenommen haben. Die eingezeichneten Photonen, welche in diesem Moment durch die Lochblende sausen, kommen von den Rändern des Objekts, aber aus großer Entfernung, weil sie zu einem anderen Zeitpunkt emittiert wurden (d.i. die berühmte "Relativität der Gleichzeitigkeit"). Wenn Kamera und Objekt einander im Zeitpunkt der Belichtung mit der getriggerten Entfernung zueinander gegenüberstehen, war das Licht vom Objekt ja schon unterwegs, denn das Objekt bewegt sich schließlich. Im Ruhsystem der Kamera bewegen sich die Photonen mit c auf die Bildfläche zu! Wie die Grafik zeigt, sollte man eine Nahaufnahme erwarten. Aber das Licht kommt aus einer größeren Entfernung, und diese Erwartung ist daher falsch. (Der Strahlengang laut SRT ist rot eingezeichnet.) Mit der Lorentztransformation der SRT kann man unter Beibehaltung von c=const die Koordinaten ins "andere" Inertialsystem transformieren, denn angeblich werden diese Koordinaten dort ja ganz anders wahrgenommen! Die Lorentztransformation sagt dem Kamerabeobachter, dass die Strecke zum Emissionsort der Photonen im anderen Bezugssystem um den Faktor 2,2 verlängert ist. Und der Kamerabeobachter wird nun folgern können, dass entgegen seiner Erwartung (im Belichtungsmoment ist das Objekt ja näher) eine Fernaufnahme erfolgen wird. Zu Fall 3: Nun bewegt sich die Kamera durch das Objektsystem. Aus dem Ruhsystem des Objekts gesehen erscheint lt. SRT jetzt die Kamera auf 45,45 % längskontrahiert. Ort und Zeitpunkt der Blendenöffnung (x=0, t=0) sind natürlich identisch mit den anderen Fällen 1 und 2 (man sagt, "das Ereignis ist ortsfest"). Wenn wir von der Möglichkeit der Aberration der Lichtstrahlen absehen ( der Fall 4 wird uns den Grund hiefür aufzeigen), müsste der Objektbeobachter einen Weitwinkeleffekt - auf der Projektionsfläche also eine verkleinerte Darstellung des Objektes - erwarten. Und zwar gleich aus 2 Gründen: erstens wegen der verkürzten Strecke innerhalb der Kamera und zweitens weil die Bildfläche der bewegten Kamera den Photonen entgegenkommt! Diese Erwartung wird auch von der Lehrmeinung vertreten, wovon man sich hier überzeugen kann. Was kann der Objektbeobachter nun mit der Lorentztransformation erklären, falls das Bildergebnis seiner Erwartung nicht entspräche? Die Lorentztransformation kann ihm verdeutlichen, dass sein Objektsystem aus dem Ruhsystem der Kamera verkürzt wahrgenommen wird. Oder er kann annehmen, dass der Kamerabeobachter die für die aus Kamerasicht verkürzte Strecke zum Objekt mit den in der Kamera verkürzten Maßstäben misst. Er könnte seine Bilderwartung aus dem für ihn insgesamt verkürzten, in Bewegung befindlichen Kamerasystem ziehen ... und das entspräche sogar der Darstellung 4 (dennoch scheidet die Aberration als Erklärung aus). Diese Darstellung zeigt zwar bereits das Normalbild, der Objektbeobachter wird aber feststellen müssen, dass die Kontraktion der bewegten Kamera nicht dasselbe Ergebnis liefert wie eine tatsächlich verkürzte Brennweite, weil die Lochblendengröße nicht korrigiert wäre. Zu 2 und 3: Wir haben also zwar unterschiedliche Bilderwartungen zwischen Fernaufnahme oder einem Weitwinkelbild, aber die Anwendung der Lorentztransformation zeigt, dass sich die Bildgröße für keinen der Beobachter anders präsentiert ... wie es das Relativitätsprinzip schließlich auch voraussagt. Eine real verkürzte Kamera verändert ihre Brennweite, eine relativistisch verkürzte offensichtlich nicht. Ein real näher gerücktes Objekt wird vergrößert dargestellt, ein relativistisch herangezogenes offensichtlich nicht. Auch wenn schon ein Widerspruch in den zwei Bilderwartungen vorliegt, liegt auch ein Widerspruch mit dem Ergebnis vor: denn das mit der Lorentztransformation errechenbare Bild, das für beide Beobachter gleich aussehen muss, entspricht keiner der beiden Erwartungen, obwohl diese auf die gültigen optischen Gesetze gestützt werden. Aber das ist immer noch im Rahmen der SRT erklärbar, wenn man die Relativität der Gleichzeitigkeit und des Ortes akzeptiert... Dennoch sagt die Lorentztransformation sowohl eine Nahaufnahme als auch eine Fernaufnahme voraus, die sich zwar nicht in den Abbildungsverhältnissen aber in Verzerrungen unterscheiden, die aus unterschiedlichen Lichtstrecken stammen. Davon reden wir noch ...

Mit der Lorentz-Transformation lässt sich ein (bei grober Beurteilung) für beide Beobachter gültiges Bild nur dann konstruieren, wenn man bereit ist, räumliche und zeitliche Veränderungen (entweder der Photonen-Emissionspunkte oder der Eintrittspunkte in die Kamera) zu akzeptieren, wozu Relativisten allerdings uneingeschränkt bereit sind!). Ein gutes Beispiel für diese Methode demonstrierte Dietmar in seinem Forumsbeitrag http://www.mahag.com/FORUM/forum.php?id=1352#1352. Ein anderes Beispiel, das Paradoxon mittels Lorentztransformation zu lösen, findet man z.B. hier: http://www.relativitaetsprinzip.info/gedankenexperiment/lochkamera-1.html. Hier sieht man deutlich, wie Zeitpunkte und Orte so verändert werden, dass sich das gewünschte Ergebnis herausstellt. Die Berechnung der relativistischen Lochkamera auf dieser Webseite enthält als Merkwürdigkeit unterschiedliche Ergebnisse beim Verkleinerungsfaktor des Bildes: Fall 1 : V= sqrt(1-v²/c²) / (1-v/c) x L / S und Fall 2 : V = L / S... je nachdem, ob sich das Objekt oder die Kamera bewegt (Verletzung des Relativitätsprinzips?) Im Fall 2 bleibt nicht mal der Belichtungsort und Zeitpunkt ortsfest. Über allenfalls unterschiedliche Verzerrungen des Bildes (und genau darin wird sich das Paradoxon manifestieren!) wird ohnedies elegant hinweg gegangen... Zu Fall 4: Wenn man auf der interessanten Seite der Ute Kraus http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/AuR/AuRHTML/node3.html die "Allgemeine Erklärung: Aberration" entdeckt, liegt es nahe, in der Aberration eine Lösung des Lochkamera-Paradoxons zu vermuten. Das Beispiel bei Ute Kraus besteht allerdings nur aus dem Vergleich einer bewegten mit einer ruhenden Kamera gegenüber einem in beiden Fällen ruhenden Objekt! Was den Fall des bewegen Objektes angeht, verweist sie hier http://www.tempolimit-lichtgeschwindigkeit.de/AuR/AuRHTML/node5.html auf Literaturstellen, die sich als nicht auffindbar erweisen ... Wie man aus der Grafik 4 ersehen kann, entsprechen die Koordinaten x=0 t=0 nicht mehr denjenigen der Fälle 1 bis 3! Warum nicht? Um überhaupt eine Aberration der Strecke genau jener Photonen zu verursachen, die geradeso wie in den Fällen 1 bis 3 bei x=0 t=0 in die Kamera eintreten müssten, muss sich die Kamera zuerst gegen diese Photonen bewegen. Damit versäumt sie aber den getriggerten Belichtungszeitpunkt, d.h. in diesem Fall müsste die Belichtung etwas später stattfinden! Das bedeutet andererseits auch, dass die Photonen, die bei x=0 t=0 tatsächlich mit einem Aberrationswinkel eintreten, niemals dieselben sein können, die in den Fällen 1 bis 3 emittiert werden, sondern andere, die aus einer größeren Entfernung kommen, als die (getriggerte!) Gesamtstrecke überhaupt ausmacht! Der Beginn der Kamerabewegung wird in den Fällen 1 bis 3 auch gar nicht definiert, weil er keine Rolle spielt. (Zur Erinnerung: Das zugrunde gelegte Ereignis lautet bloß: eine auf ein Objekt zu bewegte Lochkamera macht durch kurzes Öffnen der Lochblende ein Foto. Ein Punkt, von welchem aus die Kamera startet, wurde nie festgelegt, sondern lediglich Belichtungsort und Zeit ortsfest mit x=0, t=0 bestimmt!). Die Aberrations-Erklärung ist zur Lösung des Lochkamera-Paradoxons deshalb überhaupt nicht geeignet, weil der Fall 4 sich mit keinem der Fälle 1 bis 3 vergleichen lässt. Da aufgrund der Aberration durch Bewegung der Kamera zum Objekt von vornherein kein identisches Bild zu erwarten ist wie bei der Bewegung des Objektes zur Kamera (vergleiche 2 und 4!), würde das Relativitätsprinzip sofort verletzt werden (da es die sogenannte aktive Aberration des Lichts im Gegensatz zur passiven nicht gibt). Weil nun die Lorentztransformation die relativistischen Effekte quasi hin- und her transformiert, denn die relativistischen Effekte treten ja immer nur in den jeweils zu den Ruhsystemen relativ bewegten Bezugssystemen auf, muss man schon sehr genau hinschauen, um zu prüfen, ob diese Transformation auch in der Lage ist, dies wirklich ohne jede Änderung des Bildinhaltes zu bewerkstelligen. Außer den raumzeitlichen Veränderungen der Emissions- und Absorptionsorte, die ja von Relativisten als naturgegeben hingenommen werden, ergeben sich tatsächlich bezugssystemabhängige Bildunterschiede. Und zwar: 1.) unterschiedliche Bildintensität an den Bildrändern (Vignettierung) 2.) unterschiedliche Beugungsphänomene an den Rändern der Lochblende   3.) Unterschiedliche Schärfe des Bildes aufgrund unterschiedlicher Eintrittswinkel bei gleichbleibendem Blendenloch-Durchmesser wegen der Beziehung d=sqrt(A/Wellenlänge). 4.) Unterschiedliche hyperbolische Verzerrungen aufgrund von Bewegung. 5.) Unterschiedliche perspektivische Verzerrungen durch Änderung der Brennweite oder des Objektabstandes (Weitwinkel und Fernaufnahme!) Der Grund für die unterschiedliche Bildschärfe ist nicht wegzudiskutieren. Sie ergibt sich aus untenstehender Formel (links vom Bild; A=Länge der Lichtstrecke in der Kamera, "Auflagemaß", bzw. Brennweite)). Da in der Lorentztransformation abwechselnd je nach Bezugssystem die Längen variieren, verändern sich die Eintrittswinkel der Lichtstrahlen durch die Lochblende. Die optimale Schärfe des Bildes im Zusammenhang mit dem Bildabstand und der richtigen Lochgröße ergibt sich aus der Formel d=sqrt(A/Wellenlänge) im Bild links oben. Die Lorentztransformation sagt daher unterschiedliche Bildschärfen voraus, da sich die Brennweite je nach Bezugssystem ändert! Die unterschiedliche Vignettierung bzw. die Beugungs-Effekte ergeben sich aus folgenden Gründen: Im Objektsystem des durchgerechneten Beispiels ist die Kamera lorentzkontrahiert. Dies trifft nicht nur für die Wandstärke zu, in welcher sich die Lochblende befindet, sondern auch für den Abstand, in welchem der Strahl an der Blendenwand vorbei in das Kameragehäuse gelangt.

Die veränderten Eintrittswinkel in die Kamera bewirken nämlich auch veränderte Abstände der Photonen zu den Kanten der Lochblende. Jenach Bezugssystem müssten die Intensitäts- und Beugungsverhältnisse an den Bildrändern unterschiedlich ausfallen, da die Photonen einmal weiter entfernt sind und ein andermal näher an der Lochblenden-Kante vorbeischrammen bzw. gar nicht mehr ins Kameragehäuse gelangen (Vignettierung) oder auf andere Stellen der Bildfläche reflektiert werden. (Da gemäß der Quantenphysik Photonen eine Ausdehnung haben, geraten sie übrigens nicht nur in diesem Kamera-Beispiel in Konflikt mit der Lorentz-Invarianz!)

Bewegungsbedingte Bildverzerrungen:

Wenn eine Lochkamera zum Objekt (Motiv) eine Relativbewegung während der Aufnahme hat, ergeben sich spezielle bewegungsbedingte Bildverzerrungen. Auch die sollten wir uns etwas genauer ansehen.

Im gegenständlichen Kamera-Beispiel kann man mit der Lorentz-Transformation zwar einen Bildinhalt errechnen, der eine "gleich große" Darstellung des Objekts (Motivs) enthält, vorausgesetzt, man nimmt an den veränderten Emissionsorten und Zeiten keinen Anstoß. Ebenso kann man zeigen, dass das Bild samt seinen Verzerrungen unverändert auf dem Film zu landen scheint - aber diese Verzerrungen enthalten dennoch einen unüberwindbaren Fallstrick für die SRT. Im Fall, dass sich die Kamera vom Objekt entfernt, sieht das so aus:

Objektsystem:
Von den Strahlen, die gleichzeitig in der Lochblende eintreffen, sind diejenigen von den Objektenden (1) früher emittiert worden (als die sich weg bewegende Kamera etwas näher war - 2) Die waagrecht laufenden Strahlen (3) kommen deshalb aus einer größeren Distanz. Da bekanntlich weiter entfernte Objekte kleiner dargestellt werden, ergibt sich eine hyperbolische Verzerrung des Bildes (4), die vom Laufzeitunterschied und den unterschiedlichen Streckenverhältnissen abhängt. Die Verzerrung wird umso geringer, je weiter das Objekt entfernt ist.
D.h. während die Photonen vom Objekt emittiert werden, bewegt sich die Kamera um eine gewisse Distanz weiter. Das ergibt zweifellos eine hyperbolische Verzerrung, da die in der Mitte des Bildes liegenden Details aus einer größeren Entfernung kommen. Im kontrahierten Kameragehäuse wird auf dem Weg zur Bildfläche diese Verzerrung aber modifiziert, denn hier kommen nun die geneigten Strahlen aufgrund des längeren Wegs später an. Da die Gesamtstrecke vor der Lochblende kürzer ist als die Strecke nach der Blende, kehrt sich der Effekt sogar ins Gegenteil um! Denn die geneigten Strahlen, die vor der Blende einen Zeitvorsprung hatten, verspäten sich nun. Der Vorgang ist deshalb nicht symmetrisch, da hinter der Blende noch das kontrahierte Kameragehäuse durchquert wird.

Kamerasystem:
Von den Strahlen, die gleichzeitig in der Lochblende eintreffen, sind diejenigen von den Objektenden (5) früher emittiert worden, als das Objekt der Kamera näher war. Die waagrecht laufenden Strahlen (6) kommen deshalb aus einer größeren Distanz.
Die Abbildungsdifferenz ergibt sich auch hier aus der Distanz (7) und die Details in der Mitte des Objektes sollten deshalb ebenfalls wesentlich kleiner abgebildet werden als im Objektsystem (8). Aber auch hier muss hinter der Lochblende auf dem Weg zur Bildfläche ein Ausgleich stattfinden, denn nun haben hier die geneigten Strahlen den längeren Weg. Im Endeffekt sollte die Verzerrung sowohl im Objektsystem als auch im Kamerasystem übereinstimmend abgebildet werden.

Im Falle der Entfernung von Kamera und Objekt gibt es eine besonders interessante Schlussfolgerung:

Die bewegungsbedingte Verzerrung entsteht nämlich je nach Bezugssystem einmal vor (1) und ein andermal hinter (2) der Lochblende!!! Ist es doch einerseits die Bewegung der Bildfläche und andererseits jene des Objektes, welche die Verzerrung verursacht. Das sagt aber absurderweise die Möglichkeit voraus, dass je nach Wahl des Bezugssystems das Bild bereits verzerrt oder noch nicht verzerrt durch die Lochblende kommen müsste.
Da es sich ja um einen einzigen Vorgang handelt, der im Sinne des Relativitätsprinzips und der SRT von frei definierbaren Bezugsystemen aus beschreibbar sein sollte, ohne einen Widerspruch zu erzeugen, sollte diese bizarre Aussage doch auch für den wundergläubigsten Relativisten unannehmbar sein!²

Perspektivische Verzerrungen des Bildes durch Wechsel der Bildweite (Brennweite) oder des Objektabstandes:³

Im Fall der Annäherung von Kamera und Objekt ergibt sich (bei gleicher Bildgröße bzw. Abbildungsmaßstab) aus der Lorentztransformation, dass das Bild gleichzeitig die starken Verzerrungen eines Weitwinkelbildes und die schwachen bzw. kaum vorhandenen Verzerrungen einer Fernaufnahme aufweisen müsste! Dieser Fall wurde im Alpha Centauri Forum diskutiert, wo die Berechnungen eines Beispiels des Physikers J. ergaben, dass im Kamerasystem die Lichtstrecke vor der Lochblende dreimal so lang ist wie im Objektsystem. Das ergibt in der Tat zwei unterschiedliche Bildinhalte wegen der unterschiedlichen Verzerrungen. Es stand folgendes Beispiel zur Debatte:

Die Kamera nähert sich dem Objekt und die Belichtung erfolgt im Abstand von 1000 cm. Die Kamera selbst ist 10 cm lang. Der Physiker nahm eine Geschwindigkeit von v=4/5 c und somit gamma=5/3 an und errechnete mit der Lorentztransformation folgende Situationen:

Bewegte Kamera (Objektsystem):
Ein Photon wird vom Objekt emittiert und durchquert nach 1000 cm die Lochblende. Die Lorentzkontraktion verkürzt die Kamera auf 6 cm, während sie dem Photon entgegenfliegt. Das Photon erreicht nach 10/3 = 3,333 cm die Bildfläche (den dort eingelegten Film), welche in derselben zeit 2,667 cm zurückgelegt hat. Damit ergibt sich ein Abbildungsverhältnis von 1/300.

Bewegtes Objekt (Kamerasystem):
Die Kamera ruht nun und ist nicht kontrahiert, demnach 10 cm lang.Die Position des Objektes im Moment der Photonenemission ergibt sich laut LT mit 3000 cm. Da sich auch hier ein Abbildungsverhältnis von 1/300 ergibt, folgerte der Physiker, die Lorentztrasnfomration habe die Koordinaten korrekt transformiert und die Bilder müssten einander völlig gleichen, so wie es das Relativitätsprinzip fordert. Auch andere Forumsteilnehmer (Relativisten natürlich) waren davon überzeugt, eine Änderung des Bildes könne sich niemals ergeben.

Diesem Argument setzte ich in diesem Forums-Thread eine genauere Berechnung des Beispiels entgegen. Zuerst wählte ich willürlich eine Bildgröße, und nachdem dies bemängelt wurde (obwohl es in diesem Fall mathematisch keine Rolle spielt), rechnete ich mit den genaueren Zahlen.

"Du meinst also, eine Aufnahme mit weitem Bildwinkel aus 1000 cm Entfernung wäre dassebe wie eine Fernaufnahme aus dreifacher Entfernung v. 3000 cm! Das ist nicht der Fall."

Bewegte Kamera (Objektsystem):
Ein Photon im waagrechten Zentralstrahl legt eine Strecke von insgesamt 1003,33 cm zurück. Nehmen wir eine Objekthöhe von 20 cm an, so entsteht auf dem Film eine Bildhöhe von ~0,067 cm! , Ein Photon vom Rand des Objektes legt somit insgesamt eine diagonale Strecke von 1003,530980003999000279916026391cm zurück, wofür es (c=const!) genau 3,3474190334834874340965443046302e-8 sek sek braucht. Das waagrechte Photon kam schon nach 3,3467486363516189590066338493412e-8 sek auf dem Film an. Das Randphoton verspätet sich daher um 6,70397131868475089910455289e-12 sek.

Die mit der Lorentztransformation übertragenen Koordinaten müssten nun im anderen Bezugssystem dasselbe Ereignis ergeben, also außer der gleichen Bildhöhe müssen auch die räumlichen und zeitlichen Abstände der eintreffenden Photonen identisch sein. Ist das nicht der Fall, so kann das Bild nicht gleich aussehen. Diese Forderung ergibt sich deshalb zwingend, weil c eine konstante Geschwindigkeit ist und in beiden Systemen gleich gemessen wird. Deshalb entsprechen die transformierten Koordinaten trotz unterschiedlicher Längen- und Zeitmessung einander völlig und der Belichtungsvorgang muss unverändert ablaufen. Nach Transformation ergibt sich aber folgendes:

Bewegtes Objekt (Kamerasystem):
Der Zentralstrahl legt nun eine Strecke von insgesamt 3010 cm zurück; das Photon des Randstrahls 3010,0668903734235527839452779371 cm. Das Photon des Zentralstrahls kommt nach 1,0040279265464376692224859105695e-7 an den Film, aber das Photon des Randstrahls braucht nun für seine Strecke 1,00405016390570518834534609084e-7 sek. In diesem Bezugssystem kommt es also nur mit einer Verspätung von 2,2312226888493900652189835e-12 sek. an, einem Drittel von der Zeit im anderen Bezugssystem!

Wie jeder sehen und nachrechnen kann, ist der Strecken-Unterschied der Randstrahlen zu den Zentralstrahlen im Fall bewegter Kamera größer als im Fall bewegtes Objekt. Da die Photonen einander nicht überholen sondern konstant dahinziehen, bedeutet das, dass das Photon mit der geringeren Laufzeit von einem anderen Emissionsort kommt, als jenes mit der größeren Verspätung.

< Weitwinkel-Verzerrung Fernaufnahme, unverzerrt >

Das ist auch klar, denn einerseits (linkes Bild) handelt es sich um ein Weitwinkelbild mit größeren Verzerrungen, weil die Randstrahlen eben hier viel später ankommen als der Zentralstrahl. Andererseits ist bei bewegtem Objekt die Lichtstrecke 3 mal so lang, die Verzerrungen sind wegen des geringeren Unterschieds der Randstrahlen zu den Zentralstrahlen geringer (rechtes Bild) , was auch hier einleuchtet, denn nun ist es eine Fernaufnahme. Bildgröße und Abbildungsverhältnis sind zwar gleich, aber der Bildinhalt ist unterschiedlich!

Der Fall ist eindeutig: Die Lorentztransformation liefert ein Paradoxon. Denn die Bilder dürfen selbstverständlich nicht unterschiedlich sein. Aber eine Berechnung des Abbildungsverhältnisses kann das nicht aufzeigen! Denn eine Weitwinkelkamera mit einer Bildweite (Brennweite) von 30 mm würde von einem Objekt in 10 cm Abstand dieselbe Bildgröße wie eine Brennweite von 1000 mm vom selben Objekt in 3,33 m Entfernung liefern. Das Abbildungsverhältnis ist zwar das gleiche, aber jeder Fotograf wird bestätigen, dass die Nahaufnahme stärker verzerrt ist als die Fernaufnahme. Der Lichtstreckenunterschied ist bei der 30 mm Brennweite größer, daher auch die größeren Verzerrungen. So ist das auch beim Bild in der bewegten Kamera. Wird sie dagegen lediglich als ruhend definiert, sollte das Bild geringere Verzerrungen haben. Das ist natürlich absurd, widerspricht dem Relativitätsprinzip und degradiert die SRT zur Makulatur.

Was haben die Physiker und Hobbyastromen im Alpha Centauri Forum zu diesem absurden Ergebnis gesagt? Hatten sie sachliche Argumente dagegen, oder eine Erklärung für die unterschiedlichen Bilder? Nein, hatten sie nicht. Der Physiker schwieg (nachdem er sich schon mit der Galilei-Transformation etwas verirrt hatte) und der Hobbyastronom kritisierte unwesentliche Rundungsfehler aber andererseits zu hohe Genauigkeit ("20 widersinnige Kommastellen") , kam mit dem Gauß-Zitat daher und ging zum persönlichem Angriff über - wie das bei Relativisten üblich zu sein scheint. Letzteres ist für mich immer der Anlass, mich aus einem Forum wieder zurückzuziehen.

Jeder hat die Möglichkeit, das hier vorgeführte Beispiel nachzurechnen, dazu genügt der Windows Rechner, der Pythagoräische Lehrsatz und ein bisschen Winkelfunktion ... Was die Koordinaten betrifft, wurden sie ohnehin von einem Relativisten berechnet. Sie entsprechen der Lorentztransformation schon deshalb korrekt, weil sie in beiden Bezugssystemen dieselbe Bildhöhe (0,067 cm) ergeben. Die Lorentztransformation führt dennoch zu unterschiedlichen Bildinhalten - und jeder, der mit mathematischem Nachvollzug dieses Beispiels ebenfalls unterschiedliche Bilder erhält, darf sich freuen: er hat damit die SRT ad absurdum geführt!

Was für einen Schlangentanz die Relativisten im Alpha-Centauri-Forum aufgeführt haben, um das peinliche Beispiel nicht "verstehen" zu müssen, kann der Leser hier selbst verfolgen. Viel Vergnügen!

(Für den, der's nachrechnet: Der Unterschied in den Lichtstrecken ist so groß, dass Abweichungen hinter der 4. Nachkommastelle keinerlei Rolle mehr spielen.)

Noch nicht überzeugt?

Das Beste habe ich für den Schluss aufgehoben. Die in der SRT postulierte endliche und konstante Lichtgeschwindigkeit erzwingt mit der Lorentztransformation die Annahme unterschiedlicher Lichtstrecken, um je nach Bezugssystem die verkürzte Kamera durch größere Nähe und die unverkürzte Kamera durch größen Abstand des Objektes so auszugleichen, dass die Größe der Abbildung identisch ausfällt. Dies ist in den vorhergehenden Beispielen hoffentlich verständlich gezeigt - auch dass damit ein Wechsel der Perspektive einhergeht, wird wohl jedem leicht einleuchten. Der Einsatz eines flachen Objektes in allen Beispielen hat aber einen weiteren, besonders deutlichen Unterschied in den Bildinhalten nicht aufgezeigt. Fotomotive bestehen ja meist aus mehreren Teilen, z.B. Landschaften, die sich aus hintereinander angeordneten Objekten zusammensetzen. Eine Fernaufnahme und eine Weitwinkelaufnahme unterscheiden sich dadurch schon von vornherein durch einen unterschiedlichen Tiefeneffekt.

Links sehen wir eine Weitwinkelaufnahme, rechts eine Fernaufnahme aus der lorentztransformierten Entfernung - eingestellt auf die Schach-Dame. Wir sehen, dass sie gleich groß abgebildet wird - aber wir sehen auch den Unterschied bei den anderen Figuren. Die Lorentztransformation kann zwar jede einzelne Figur "transformieren" - dann weichen aber wieder die anderen Figuren größenmäßig ab. Das folgende Bild wird den Grund hiefür genauer zeigen und zusätzlich jenen Effekt, welcher endgültig in nicht widerlegbarer Deutlichkeit zeigt, dass die Lorentztransformation versagt und bei Annahme der Einsteinschen Postulate das Relativitätsprinzip bei dieser "Fotosession" verletzt wäre.

Wir sehen zwar die gleiche Abbildungsgröße der Schach-Dame (3), aber wir sehen auch, dass in der Fernaufnahme der Bauer (1) die Spitze des Bauern (2) sichtbar lässt, wogegen der Bauer (2) in der Weitwinkelaufnahme vom Bauern (1) zur Gänze verdeckt wird! Das liegt daran, dass in der Weitwinkelaufnahme die Unterschiede in der Größendarstellung viel größer sind als in der Fernaufnahme, welche ein flacheres Bild mit fast gleich großen Figuren darstellt. Dieser perspektivische und unvermeidbare Effekt wird durch Bewegung des Objektes noch verstärkt:

(1 - 3) : Das Licht legt den Weg zwischen den Objekten und der Kamera laut SRT ja mit einer konstanten und endlichen Geschwindigkeit zurück. Wird die Kamera ausgelöst, dann registriert sie das Licht, das zu diesem Zeitpunkt gerade an der Lochblende ankommt. Da verschiedene Objektpunkte verschieden weit von der Kamera entfernt sind, war das Licht je nach Ursprungsort verschieden lange unterwegs - d.h. das nun hier gleichzeitig eintreffende Licht ist je nach Laufzeit innerhalb eines gewissen Zeitraums nach und nach emittiert worden. Während dieses Zeitraums bewegte sich aber das Objekt ständig weiter. Das Licht, das gleichzeitig in die Kamera eintritt, stammt deshalb von Punkten im Raum, die sich über mehr als die eigentliche Objektlänge erstrecken; dessen Länge wird dadurch verlängert und gleichzeitig wird damit der Verkürzungseffekt der Lorentzkontraktion aufgehoben. (Siehe Anmerkung 3a!)

Dieser Lichtlaufzeiteffekt kann die Längenkontraktion also sogar überwiegen, vor allem führt er dazu, dass Objektteile, die bei unbewegter Anordnung hinter anderen Objekten verborgen sind, im Bild deshalb sichtbar werden, weil die normalerweise im Weg stehenden Teile vor den Lichtstrahlen davonlaufen und den Blick auf ansonsten unsichtbare Bereiche freigeben. Dieser Laufzeiteffekt entfällt selbstverständlich bei der bewegten Kamera völlig, die Objekte weichen hier den Lichtstrahlen nicht aus, sondern absorbieren diese Informationen, die - da sie gar nicht freigesetzt werden - auch durch die schönste Aberration nicht mehr in die Kamera gelangen können.(4)

(Wenn sich umgekehrt die Objektanordnung von der Kamera entfernt, führt der Lichtlaufzeiteffekt zu einer scheinbaren Verkürzung, die zur Längenkontraktion noch hinzukommt: Die Objektlängen erscheinen sehr stark verkürzt. Entfernt sich dagegen die Kamera von den Objekten, unterscheidet sich das Bild durch unterschiedliche Blockierung von Informationen wiederrum wesentlich vom umgekehrten Prozess!)

Alle diese Widersprüche treten nicht auf, wenn man das 2. Postulat Einsteins missachtet (also Geschwindigkeiten c+/-v zulässt) und die Galilei-Transformation anwendet. Hier verändert sich der Abstand zwischen Lochblende und Objekt nie, die Lichtlaufstrecken sind stets gleich lang und die Kamera ist natürlich nicht verkürzt. Es gibt daher in den Bildergebnissen keine Unterschiede aufgrund der ausschließlichen Wahl des Bezugssystems!

Sicher könnte man auch noch auf einige weitere Aspekte eingehen, z.B. jene, die sich aus aus der Zeitdilatation ergeben. Dadurch wird nämlich die vom Objektsystem gemessene Belichtungszeit zeitdilatiert und um den Gammafaktor verkürzt. Auf einem Polaroidfilm z.B. würde das Bild dadurch langsamer erscheinen - im Vergleich zu einem Polaroidfilm in der als ruhend definierten Kamera! Tatsächlich müsste der Objektbeobachter zusätzlich zur bewegungsbedingten Rotverschiebung generell eine langsamere Bildentwicklung erwarten als der Kamerabeobachter. Der Kamerabeobachter dagegen sieht zwar die Rotverschiebung ebenso, aber die Bildentwicklung wäre nicht verlangsamt...
Aber diese Art von Widerspruch wird ja von Relativisten mit Applaus begrüsst - siehe Zwillingsparadoxon. Das Bild in der bewegten Kamera würde, während der Entwicklungszeit mit dem Bild einer ruhenden zusammengebracht, das weniger "gereifte" also jünger gebliebene sein!

Die Anwendung der Lorentztransformation bzw. der SRT führt im Kameraparadoxon daher auf jeden Fall durch Wechsel der Perspektive zu einem unauflösbaren Widerspruch.
Warum das Licht sich dennoch im Bereich der unserem Erfahrungsbereich zugänglichen Geschwindigkeiten in das Relativitätsprinzip einzuordnen scheint, lässt sich beispielsweise mit dem fixed-space-delay-model erklären.

Ein ähnlich gelagertes Paradoxon habe ich in meinem Aufsatz "Das Raumschiff-Kino und die SRT" entwickelt. Dort ergeben sich besonders unüberwindbare Widersprüche unter Verwendung von Projektionslinsen...

Siehe auch den Aufsatz: SRT und Eisenbahn!

"Der Hauptreiz einer Theorie liegt in ihrer logischen Geschlossenheit. Wenn eine einzige aus ihr geschlossene Konsequenz sich als unzutreffend erweist, muß sie verlassen werden." Albert Einstein (Mein Weltbild, 1955, Seite 131)

1.) Da im Zwillingsparadoxon die wieder vereinigten Zwillinge schon aufgrund ihres unterschiedlichen Alters bzw. ihrer unterschiedlichen Uhrenanzeigen die Realität der Zeitdilatation demonstrieren, musste auch die Längenkontraktion real vorgelegen haben, da andernfalls die Lichgegeschwindigkeit nicht konstant geblieben wäre!

2.) Ein Experiment zwecks Feststellung, ob das Bild verzerrt oder nicht verzerrt durch die Blende kommt, würde sofort aufzeigen, dasss zwischen den beiden Bewegungsarten bewegte Kamera oder bewegtes Objekt unterschieden werden muss - das widerspricht jedoch dem Relativitätsprinzip ebenso wie der SRT!

3.) Ein Gegenargument der Relativisten war, in einer Lochkemare gäbe es keine Verzerrungen. Das betrifft aber nur die sogenannte "Ideale Lochkamera". In der Prexis ist auch bei einer Lochkamera das Bild bei weitem Bildwinkel verzerrt. Hier ein Beispiel:

siehe auch http://www.ditmar-schaedel.de/polaroids/bruecke.html
und hier eine ganze Galerie verzerrter Lochkamera-Bilder:
http://www.conspectus.uni-halle.de/index.php?pid=9&topic=show&object=gallery&action=show_gallery&gallery_id=34

>>und hier noch eine zweite Galerie verzerrter Lochkamera-Bilder:<<

3a) Angenommen ein Beobachter sähe ein Objekt mit der Ruhelänge L' mit v auf sich zurasen. Dann sähe er dieses verlängert gemäß:
L=L'*v((1+v/c)/(1-v/c)) bzw. L=L'*v((1+ß)/(1-ß))
Analog dazu erschiene ein Objekt, das sich entfernt, verkürzt gemäß:
L=L'*v((1-v/c)/(1+v/c)) bzw. L=L'*v((1-ß)/(1+ß))
Bei ß=0,8 (ß=v/c) erschiene das Objekt demnach bereits um den Faktor 3 verlängert bzw. verkürzt!
Hingegen ergibt die Längenkontraktion mit L=L'/γ bzw L'=L/γ bei 0,8 c nur eine Verkürzung um den Gammafaktor 1.667, also eine Verkürzung auf nur 60% der Ruhelänge.

Dietmar Hainz kann dieses Paradoxon nicht nachvollziehen. Lesen Sie seine Arbeit über die Lochkamera hier und meine Erwiderung darauf hier!

Die Effekte der Speziellen Relativitätstheorie können Sie selbst hier berechnen!

Sie haben eine Meinung dazu? Oder einen Lösungsvorschlag für dieses Paradoxon? Benutzen Sie bitte das Forum!

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Text zuletzt bearbeitet und ergänzt am 5.12. 2006