Hallo Sebastian
Die Geschwindigkeitsadditionen erfolgen grundsätzlich aus zwei hintereinander geschalteten Koordinatentransformationen. Beginnen wir mit Newton, wo wir das Ergebnis v=v1+v2 bereits kennen:
Geschwindigkeitsaddition nach Newton:
Allgemeine Koordinatentransformation nach Newton auf der x-Achse:
x' = x - v*t und t' = t
Vereinfachend können wir x=0 setzen und erhalten für die 1. Koordinatentransformation von S nach S' mit v1:
x' = -v1*t und t' = t
Nun erfolgt die 2. Trafo von S' nach S" mit v2:
x" = x' - v2*t' und t" = t'
Ersetzen von x' und t':
x" = -v1*t - v2*t und t" = t
Ausklammern:
x" = t*(-v1-v2) und t" = t
Geschwindigkeit v" in S":
v" = x" / t"
v" = t*(-v1-v2)/t = -v1-v2
In S beträgt die Geschwindigkeit v:
v = -v" = v1 + v2
Analog die Geschwindigkeitsaddition nach der SRT:
Allgemeine Koordinatentransformation nach Einstein auf der x-Achse:
x' = gamma*(x - v*t) und t' = gamma*(t - v*x/c^2)
Auch hier können wir vereinfachend x=0 setzen und erhalten für die 1. Koordinatentransformation von S nach S' mit v1:
x' = gamma1*(-v1*t) und t' = gamma1*t
Nun erfolgt die 2. Trafo von S' nach S" mit v2:
x" = gamma2*(x' - v2*t') und t" = gamma2*(t' - v2*x'/c^2)
Ersetzen von x' und t':
x" = gamma2*(gamma1*(-v1*t) - v2*gamma1*t)
t" = gamma2*(gamma1*t - v2*gamma1*(-v1*t)/c^2)
Ausklammern:
x" = gamma2*gamma1*t*(-v1-v2)
t" = gamma2*gamma1*t*(1 + v1*v2/c^2)
Geschwindigkeit v" in S":
v" = x"/t" = -(v1+v2) / (1 + v1*v2/c^2)
In S beträgt die Geschwindigkeit:
v = -v" = (v1+v2) / (1 + v1*v2/c^2)
Die beiden Gammafaktoren haben sich herausgekürzt und die Forminvarianz bezüglich Transformation bleibt sowohl nach Newton als auch nach Einstein erhalten.
Gruss