Das Prinzip des Seins

Hallo Sebastian

Die Geschwindigkeitsadditionen erfolgen grundsätzlich aus zwei hintereinander geschalteten Koordinatentransformationen. Beginnen wir mit Newton, wo wir das Ergebnis v=v1+v2 bereits kennen:

Geschwindigkeitsaddition nach Newton:

Allgemeine Koordinatentransformation nach Newton auf der x-Achse:

x' = x - v*t und t' = t

Vereinfachend können wir x=0 setzen und erhalten für die 1. Koordinatentransformation von S nach S' mit v1:

x' = -v1*t und t' = t


Nun erfolgt die 2. Trafo von S' nach S" mit v2:

x" = x' - v2*t' und t" = t'

Ersetzen von x' und t':

x" = -v1*t - v2*t und t" = t

Ausklammern:

x" = t*(-v1-v2) und t" = t

Geschwindigkeit v" in S":

v" = x" / t"

v" = t*(-v1-v2)/t = -v1-v2

In S beträgt die Geschwindigkeit v:

v = -v" = v1 + v2


Analog die Geschwindigkeitsaddition nach der SRT:


Allgemeine Koordinatentransformation nach Einstein auf der x-Achse:

x' = gamma*(x - v*t) und t' = gamma*(t - v*x/c^2)


Auch hier können wir vereinfachend x=0 setzen und erhalten für die 1. Koordinatentransformation von S nach S' mit v1:

x' = gamma1*(-v1*t) und t' = gamma1*t


Nun erfolgt die 2. Trafo von S' nach S" mit v2:

x" = gamma2*(x' - v2*t') und t" = gamma2*(t' - v2*x'/c^2)


Ersetzen von x' und t':

x" = gamma2*(gamma1*(-v1*t) - v2*gamma1*t)
t" = gamma2*(gamma1*t - v2*gamma1*(-v1*t)/c^2)


Ausklammern:

x" = gamma2*gamma1*t*(-v1-v2)
t" = gamma2*gamma1*t*(1 + v1*v2/c^2)


Geschwindigkeit v" in S":

v" = x"/t" = -(v1+v2) / (1 + v1*v2/c^2)


In S beträgt die Geschwindigkeit:

v = -v" = (v1+v2) / (1 + v1*v2/c^2)


Die beiden Gammafaktoren haben sich herausgekürzt und die Forminvarianz bezüglich Transformation bleibt sowohl nach Newton als auch nach Einstein erhalten.

Gruss

Hallo Chief

Setze ich x=X ein, kürzt es sich (wie t=T) am Schluss bei der Division von v"=x"/t" wieder raus. Das Gleichsetzen von x=0 dient lediglich der Vereinfachung und der besseren Übersicht.

Gruss

Kuchling hat schon recht. Du darfst für die Rücktransformation nicht einfach x’ = gamma*(x - v*t) nach x auflösen.

Über das invariante Linienelement ds² = c²*t² - dx² = c²*t’² - dx’² mit einer Raumkoordinate dx ergibt sich für die Rücktransformation

x = gamma*(x’ + v*t’)


Gruss

Es geht doch nicht darum einen Beobachter zwischen zwei Bezugssystemen hin und her zu schicken (der natürlich beschleunigen müsste), sondern einen physikalischen Vorgang aus beiden Bezugssystemen zu beschreiben.



Nein, da sich dς² von dς’² unterscheidet, kann diese Gleichung nicht in c²dt²-dς²=0 überführt werden.

Gruss

Die relativistische Energie berechnet sich allgemein aus

E=sqrt(m^2*c^4+p^2*c^2) mit p=m*v*γ und γ=1/sqrt(1-v^2/c^2)

Diese Gleichung gilt auch für Photonen. Über

v=dE/dp=p*c^2/sqrt(p^2*c^2+m^2*c^4)=c

kann daraus geschlossen werden, dass diese Gleichung nur dann v=c ergibt, wenn der Term

m^2*c^4

verschwindet, was nur mit der Ruhemasse von m=0 möglich ist.



Dies gilt nur für Ereignisse, die auf dem gleichen Lichtstrahl liegen. Verallgemeinert man auf beliebige Ereignisse, so gilt

c²*dt² -dx² = c²*dt’² - dx’² = c²*tau²

mit der Eigenzeit tau.


Gruss

Die Energie eines Photons ist E=c*│p│. Die Masse verschwindet (invariante Ruhemasse = 0) und sein relativistischer Impuls kann wegen v=c nicht wie bei Teilchen mit │p│=m*v*gamma berechnet werden.




Aus der Ausgangsgleichung

c²*dt² - dx² = c²*dt’² - dx’² = c²*tau²

substituierst du

dx² mit c²dθ² und dx’² mit c²dθ’²

Das kann man zwar machen, erscheint mir jedoch sinnlos. Egal, danach folgt nach deiner Rechnung

und die beiden zuvor substituierten Grössen dx² und dx’² stehen plötzlich wieder auf der Matte.


Für beliebige Ereignisse, die nicht auf dem gleichen Lichtstrahl liegen, versagt diese Substitution.

Gruss

Über

E = h*f = c*│p│ = m*c²

können der Impuls sowie das relativistische Massenäquivalent eines Photons (mit der invarianten Ruhemasse 0) berechnet werden.



Wir können die Ausgangsgleichung

c²*dt² - dx² = c²*dt’² - dx’² = c²*dtau²

in zwei Gleichungen aufspalten:

1) c²*dt² - dx² = c²*dtau²
2) c²*dt’² - dx’² = c²*dtau²



Das ergibt durch einfaches Umformen von 1):

c²*dt² - c²*dtau² = dx²

und analog von 2):

c²*dt’² - c²*dtau² = dx’²

Gruss

Ja, Masse und Energie (auch in Form von Lichtstrahlung) sind energetisch äquivalent.




OK, das ist mathematisch korrekt. Somit wäre die Invarianz von c durch Transformation in allen Inertialsystemen hergeleitet und führt über

c²*dt² - dx² = c²*dt’² - dx’² = ds² = c²*dtau²

zu


Gruss