Wie haben sie das "obtained"?
Ich würde es Schritt für Schritt
so obtainen: zuerst besorgt man sich das Linienelement:
}} d t^2 - {\color{Orange}{\frac{\Sigma}{\Delta}}} \ d r^2 - {\color{DarkGreen}{\Sigma}} \ d \theta^2 - {\color{Blue}{\frac{\chi}{\Sigma} \ \sin^2 \theta}} \ d\phi^2 + {\color{Purple}{\frac{4 \ r \ a \sin^2 \theta }{\Sigma }}} \ dt \ d \phi})
(hier in den natürlichen Einheiten G=M=c=1) mit den Termen
^2-a ^2 \ \sin ^2 \theta \ \Delta)
und schreibt daraus die Vorfaktoren ab (bunt markiert):
Das war bereits alles was wir irgendwo abschreiben müssen. Damit haben wir die Metrik und ihr Inverses:
und gewinnen daraus die Christoffelsymbole:
Index 1,2,3,4 steht für t,r,θ,φ:
Mithilfe der Christoffelsymbole bekommen wir die Geodätengleichungen:
Jetzt werfen wir t" weg (die 2. Ableitung der Zeit braucht keiner) und besorgen uns t' indem wir im Linenelement ds²=-1 setzen:
oder im Fall von Photonen ds²=0:
und nach t' auflösen. Damit haben wir die frischgepressten und unpasteurisierten Bewegungsgleichungen in zweiter Ableitung ohne das
lästige ±. Mithilfe der Erhaltungsgrößen Gesamtenergie, axialer Drehimpuls und Carter-Konstante kann man das dann noch auf die Form die auf
Wikipedia steht kürzen, das spart ein bisschen
Rechenzeit bei ansonsten gleichen Ergebnissen:
As a final check of our numerical results, we run an independent code that computes the orbits directly from the geodesic equation and find the two independent computations in complete accord.
Mit a=0 reduziert sich das bekanntlich auf
Schwarzschild, und mit Δ=r²-2r+a²+Q² erweitert es sich auf
Kerr-Newman. Hier das Ganze nocheinmal in einer anderen Sprache (Maple/Mupad): Hanauske
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