Das Prinzip des Seins

01) Eigenzeit des Testpartikels               
02) Koordinatenzeit             
03) Insgesamte Zeitdilatation   
04) Gravitative  Zeitdilatation 
05) Boyer Lindquist Radius       
06) BL Längengrad in Radianten   
07) BL Breitengrad in Radianten 
08) Radialer Linearimpuls       
09) Axialer Linearimpuls         
10) Polarer Linearimpuls         
11) Kinetische Energie           
12) Potentielle Energie         
13) Totale Energie               
14) Carter Konstante             
15) Achsialer Drehimpuls         
16) Polarer Drehimpuls           
17) Radialer Impuls             
18) Kartesischer Radius         
19) Kartesische x-Achse         
20) Kartesische y-Achse         
21) Kartesische z-Achse         
22) Lokale Fluchtgeschwindigkeit
23) Verzögerte Geschwindigkeit
24) Framedrag verzögerte Winkelgeschwindigkeit
25) Framedrag lokale Transversalgeschwindigkeit
26) Framedrag beobachtete Transversalgeschwindigkeit
27) Beobachtete Totalgeschwindigkeit
28) Lokale Geschwindigkeit

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| Mathematica Syntax | http://kerr.yukterez.net | Version: 15.02.2018  |||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

ClearAll["Global`*"]

mt1={"StiffnessSwitching", Method-> {"ExplicitRungeKutta", Automatic}};
mt2={"EventLocator", "Event"-> (r[t]-1000001/1000000 rA)};
mt3={"ImplicitRungeKutta", "DifferenceOrder"-> 20};
mt4={"EquationSimplification"-> "Residual"};
mt0=Automatic;
mta=mt0;
wp=MachinePrecision;

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 1) STARTBEDINGUNGEN EINGEBEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

A=a;                                             (* pseudosphärisch: A=0, kartesisch: A=a *)
crd=1;                                       (* Boyer-Lindquist: crd=1, Kerr-Schild crd=2 *)
dsp=1;                                                                   (* Display Modus *)

tmax=300;                                                                    (* Eigenzeit *)
Tmax=300;                                                              (* Koordinatenzeit *)
TMax=Min[Tmax, т[plunge-1*^-3]]; tMax=Min[tmax, plunge];              (* Integrationsende *)

r0=7;                                                                      (* Startradius *)
θ0=π/2;                                                                    (* Breitengrad *)
φ0=0;                                                                       (* Längengrad *)
a=9/10;                                                                  (* Spinparameter *)
μ=If[v0==1, 0, -1];                                          (* Baryon: μ=-1, Photon: μ=0 *)

v0=4/10;                                                        (* Anfangsgeschwindigkeit *)
α0=0;                                                        (* vertikaler Abschusswinkel *)
ψ0=ArcTan[5/6];                                                 (* Bahninklinationswinkel *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 2) GESCHWINDIGKEITS-, ENERGIE UND DREHIMPULSKOMPONENTEN ||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

vr0=v0 Sin[α0];                                     (* radiale Geschwindigkeitskomponente *)
vθ0=v0 Cos[α0] Sin[ψ0];                      (* longitudinale  Geschwindigkeitskomponente *)
vφ0=v0 Cos[α0] Cos[ψ0];                        (* latitudinale Geschwindigkeitskomponente *)

x0BL[A_]:=Sqrt[r0^2+A^2] Sin[θ0] Cos[φ0];                           (* Anfangskoordinaten *)
y0BL[A_]:=Sqrt[r0^2+A^2] Sin[θ0] Sin[φ0];
z0[A_]:=r0 Cos[θ0];

x0KS[A_]:=((r0 Cos[φ0]+A Sin[φ0]) Sin[θ0]);
y0KS[A_]:=((r0 Sin[φ0]-A Cos[φ0]) Sin[θ0]);

x0[A_]:=If[crd==1, x0BL[A], x0KS[A]];
y0[A_]:=If[crd==1, y0BL[A], y0KS[A]];

ε=Sqrt[δ Ξ/χ]/j[v0]+Lz ω0;                           (* Energie und Drehimpulskomponenten *)
Lz=vφ0 Ы/j[v0];
pθ0=vθ0 Sqrt[Ξ]/j[v0];
pr0=vr0 Sqrt[(Ξ/δ)/j[v0]^2];
Q=Limit[pθ0^2+(Lz^2 Csc[θ1]^2-a^2 (ε^2+μ)) Cos[θ1]^2, θ1->θ0];        (* Carter Konstante *)
k=Q+Lz^2+a^2 (ε^2+μ);                                                         (* Carter k *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 3) RADIUS NACH GESCHWINDIGKEIT UND VICE VERSA ||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

rPro=2 (1+Cos[2/3 ArcCos[-a]]);                          (* prograder Photonenorbitradius *)
rRet=2 (1+Cos[2/3 ArcCos[+a]]);                        (* retrograder Photonenorbitradius *)
rTeo=1+2 Sqrt[1-a^3/3] Cos[ArcCos[(1-a^2)/(1-a^2/3)^(3/2)]/3];

δp[r_,a_]:=Quiet[δi/.NSolve[(a^4(-1+r)+2(-3+r)r^4+a^2r(6+r(-5+3 r))+   (* Eq. Ink. Winkel *)
4a Sqrt[a^2+(-2+r)r](a^2+3 r^2)Cos[δi]-a^2(3+r)(a^2+(-2+r)r)Cos[2δi])/(2r(a^2+
(-2+r)r)(r^3+a^2(2+r)))==0&&δi<=π&&δi>=0,δi][[1]]];

vPro=(a^2-2a Sqrt[r0]+r0^2)/(Sqrt[a^2+(-2+r0)r0](a+r0^(3/2)));  (* Kreisgeschwindigkeit + *)
vRet=(a^2+2a Sqrt[r0]+r0^2)/(Sqrt[a^2+(-2+r0)r0](a-r0^(3/2)));  (* Kreisgeschwindigkeit - *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 4) HORIZONTE UND ERGOSPHÄREN RADIEN ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

rE=1+Sqrt[1-a^2 Cos[θ]^2];                                           (* äußere Ergosphäre *)
RE[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rE^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rE^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rE Cos[θ]}, w1], w2];
rG=1-Sqrt[1-a^2 Cos[θ]^2];                                           (* innere Ergosphäre *)
RG[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rG^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rG^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rG Cos[θ]}, w1], w2];
rA=1+Sqrt[1-a^2];                                                     (* äußerer Horizont *)
RA[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rA^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rA^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rA Cos[θ]}, w1], w2];
rI=1-Sqrt[1-a^2];                                                     (* innerer Horizont *)
RI[A_, w1_, w2_]:=Xyz[xyZ[
{Sqrt[rI^2+A^2] Sin[θ] Cos[φ], Sqrt[rI^2+A^2] Sin[θ] Sin[φ], rI Cos[θ]}, w1], w2];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 5) HORIZONTE UND ERGOSPHÄREN PLOT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

horizons[A_, mesh_, w1_, w2_]:=Show[
ParametricPlot3D[RE[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> mesh, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Blue, Opacity[0.10]]],
ParametricPlot3D[RA[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Cyan, Opacity[0.15]]],
ParametricPlot3D[RI[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.25]]],
ParametricPlot3D[RG[A, w1, w2], {φ, 0, 2 π}, {θ, 0, π},
Mesh -> None, PlotPoints -> plp, PlotStyle -> Directive[Red, Opacity[0.35]]]];
BLKS:=Grid[{{horizons[a, 35, 0, 0], horizons[0, 35, 0, 0]}}];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 6) FUNKTIONEN ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

j[v_]:=Sqrt[1+μ v^2];                                                    (* Lorentzfaktor *)
mirr=Sqrt[(Sqrt[1-a^2]+1)/2];                                        (* irreduzible Masse *)
я=Sqrt[Χ/Σ]Sin[θ[τ]];                                            (* axialer Umfangsradius *)
яi[τ_]:=Sqrt[Χi[τ]/Σi[τ]]Sin[Θ[τ]];
Ы=Sqrt[χ/Ξ]Sin[θ0];
Σ=r[τ]^2+a^2 Cos[θ[τ]]^2;                                    (* poloidialer Umfangsradius *)
Σi[τ_]:=R[τ]^2+a^2 Cos[Θ[τ]]^2;
Ξ=r0^2+a^2 Cos[θ0]^2;
Δ=r[τ]^2-2r[τ]+a^2;
Δi[τ_]:=R[τ]^2-2R[τ]+a^2;
δ=r0^2-2r0+a^2;
Χ=(r[τ]^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ[τ]]^2 Δ;
Χi[τ_]:=(R[τ]^2+a^2)^2-a^2 Sin[Θ[τ]]^2 Δi[τ];
χ=(r0^2+a^2)^2-a^2 Sin[θ0]^2 δ;
ц=2r[τ]/Σ; ц0=2r0/Ξ;

т[τ_]:=Evaluate[t[τ]/.sol][[1]];                        (* Koordinatenzeit nach Eigenzeit *)
д[ξ_] :=Quiet[Ξ /.FindRoot[т[Ξ]-ξ, {Ξ, 0}]];            (* Eigenzeit nach Koordinatenzeit *)
T :=Quiet[д[tk]];                           

ю[τ_]:=Evaluate[t'[τ]/.sol][[1]];
γ[τ_]:=If[μ==0, "Infinity", ю[τ]];                                           (* totale ZD *)
R[τ_]:=Evaluate[r[τ]/.sol][[1]];                                (* Boyer-Lindquist Radius *)
Φ[τ_]:=Evaluate[φ[τ]/.sol][[1]];                               
Θ[τ_]:=Evaluate[θ[τ]/.sol][[1]];
ß[τ_]:=Re[Sqrt[X'[τ]^2+Y'[τ]^2+Z'[τ]^2 ]/ю[τ]];

ς[τ_]:=Sqrt[Χi[τ]/Δi[τ]/Σi[τ]]; ς0=Sqrt[χ/δ/Ξ];                         (* gravitative ZD *)
ω[τ_]:=2R[τ] a/Χi[τ]; ω0=2r0 a/χ; ωd=2r[τ] a/Χ;   (* Frame Dragging Winkelgeschwindigkeit *)
Ω[τ_]:=ω[τ] Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2];            (* Frame Dragging beobachtete Geschwindigkeit *)
й[τ_]:=ω[τ] яi[τ] ς[τ]; й0=ω0 Ы ς0;              (* Frame Dragging lokale Geschwindigkeit *)

ж[τ_]:=Sqrt[ς[τ]^2-1]/ς[τ]; ж0=Sqrt[ς0^2-1]/ς0;                  (* Fluchtgeschwindigkeit *)
     
vd[τ_]:=Abs[-((\[Sqrt](-a^4(ε-Lz ωd)^2-2 a^2r[τ]^2 (ε-Lz ωd)^2-
        r[τ]^4(ε-Lz ωd)^2+Δ(Σ+a^2 Sin[θ[τ]]^2 (ε-
        Lz ωd)^2)))/(Sqrt[-(a^2+r[τ]^2)^2+
        a^2 Sin[θ[τ]]^2 Δ](ε - Lz ωd)))];         
   
v[τ_]:=If[μ==0, 1, Evaluate[vlt'[τ]/.sol][[1]]];          (* lokale Dreiergeschwindigkeit *)
dst[τ_]:=Evaluate[str[τ]/.sol][[1]];                                           (* Strecke *)
     
pΘ[τ_]:=Evaluate[pθ[τ] /. sol][[1]]; pΘks[τ_]:=Σi[τ] Θ'[τ];                     (* Impuls *)
pR[τ_]:=Evaluate[pr[τ] /. sol][[1]]; pRks[τ_]:=Σi[τ]/Δi[τ] R'[τ];
sh[τ_]:=Re[Sqrt[ß[τ]^2-Ω[τ]^2]];
epot[τ_]:=ε+μ-ekin[τ];                                             (* potentielle Energie *)
ekin[τ_]:=If[μ==0, ς[τ], 1/Sqrt[1-v[τ]^2]-1];                       (* kinetische Energie *)

                                                               (* beobachtete Inklination *)
ink0:=б/. Solve[Z'[0]/ю[0] Cos[б]==-Y'[0]/ю[0] Sin[б]&&б>0&&б<2π&&б<δp[r0, a], б][[1]];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 7) DIFFERENTIALGLEICHUNG |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

dp= \!\(\*SuperscriptBox[\(Y\),\(Y\)]\); n0[z_]:=Chop[N[z]];

(* Boyer-Lindquist-Koordinaten *)

pr2τ[τ_]:=1/(Σ Δ) (((r[τ]^2+a^2)μ-k)(r[τ]-1)+r[τ] Δ μ+2r[τ](r[τ]^2+a^2) ε^2-2 a ε Lz)-(2pr[τ]^2 (r[τ]-1))/Σ;
pθ2τ[τ_]:=(Sin[θ[τ]]Cos[θ[τ]])/Σ (Lz^2/Sin[θ[τ]]^4-a^2 (ε^2+μ));
                                         
DG1={
t'[τ]==ε+(2r[τ](r[τ]^2+a^2)ε-2 a r[τ] Lz)/(Σ Δ),
t[0]==0,
r'[τ]==(pr[τ] Δ)/Σ,
r[0]==r0,
θ'[τ]==pθ[τ]/Σ,
θ[0]==θ0,
φ'[τ]==(2 a r[τ] ε+(Σ-2r[τ])Lz Csc[θ[τ]]^2)/(Σ Δ),
φ[0]==φ0,
pr'[τ]==pr2τ[τ],
pr[0]==pr0,
pθ'[τ]==pθ2τ[τ],
pθ[0]==pθ0,
str'[τ]==vd[τ]/Max[1*^-16, Abs[Sqrt[1-vd[τ]^2]]],
str[0]==0,
vlt'[τ]==vd[τ],
vlt[0]==0
};

(* Kerr-Schild-Koordinaten *)

dr=(pr0 δ)/Ξ; dθ=pθ0/Ξ; dφ=(2a r0 ε+(Ξ-2r0)Lz Csc[θ0]^2)/(Ξ δ)+dr a/δ; dΦ=If[θ0==0, 0, If[θ0==π, 0, dφ]];
φk=φ0+cns/.FindRoot[Sqrt[r0^2+a^2] Cos[φ0+cns]-((r0 Cos[φ0]+a Sin[φ0])),{cns,1}];

DG2={
t''[τ]==(2 ((a^4 Cos[θ[τ]]^4+a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]-r[τ]^3-r[τ]^4) r'[τ]^2+r[τ] ((a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2) t'[τ]^2+r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2-2 a^3 Cos[θ[τ]] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^3 θ'[τ] φ'[τ]+Sin[θ[τ]]^2 (r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2+a^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2) φ'[τ]^2+a t'[τ] (a (2 a^2 Cos[θ[τ]]^3 Sin[θ[τ]]+r[τ]^2 Sin[2 θ[τ]]) θ'[τ]+2 (-a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]))+r'[τ] ((a^4 Cos[θ[τ]]^4+2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]-2 r[τ]^3-r[τ]^4) t'[τ]+a (a r[τ] (2 a^2 Cos[θ[τ]]^3 Sin[θ[τ]]+r[τ]^2 Sin[2 θ[τ]]) θ'[τ]+(-a^4 Cos[θ[τ]]^4-2 a^2 Cos[θ[τ]]^2 r[τ]+2 r[τ]^3+r[τ]^4) Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ]))))/(a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^3,
t'[0]==Limit[(ц0 (-dr+a Sin[θ1]^2 dΦ))/(-1+ц0)+\[Sqrt]((1/((-1+ц0)^2 Ξ))(Ξ (dr^2+(-1+ц0) (μ-Ξ dθ^2))+Sin[θ1]^2 dΦ (-2a Ξ dr-(-1+ц0) χ dΦ+ц0^2 a^2 Ξ Sin[θ1]^2 dΦ))), θ1->θ0],
t[0]==0,
r''[τ]==(-8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2) (a^2 Cos[2 θ[τ]]+r[τ] (2+r[τ])) r'[τ]^2+4 r'[τ] (4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2) (-2 r[τ]+a^2 Sin[θ[τ]]^2) t'[τ]+2 a^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 Sin[2 θ[τ]] θ'[τ]-a Sin[θ[τ]]^2 (2 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2 (-4+a^2+a^2 Cos[2 θ[τ]])+2 r[τ] ((2+a^2+a^2 Cos[2 θ[τ]]) r[τ]+r[τ]^3-a^2 Sin[θ[τ]]^2))+a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ])+2 (a^2+(-2+r[τ]) r[τ]) (4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2) t'[τ]^2+4 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2+8 a (-a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2 t'[τ] φ'[τ]+Sin[θ[τ]]^2 (4 r[τ] ((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2-a^2 r[τ] Sin[θ[τ]]^2)+a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2))/(8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^3),
r'[0]==dr,
r[0]==r0,
θ''[τ]==(4 a^2 r[τ] Sin[2 θ[τ]] (r'[τ]+t'[τ])^2-8 r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 r'[τ] θ'[τ]+2 a^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 Sin[2 θ[τ]] θ'[τ]^2-8 a ((Cos[θ[τ]] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 Sin[θ[τ]]+r[τ] (a^2+r[τ]^2) Sin[2 θ[τ]]) r'[τ]+r[τ] (a^2+r[τ]^2) Sin[2 θ[τ]] t'[τ]) φ'[τ]+(2 a^6 Cos[θ[τ]]^4+r[τ] (a^4 Cos[θ[τ]]^2 (5+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]+2 a^2 (2+Cos[2 θ[τ]]) r[τ]^3+2 r[τ]^5+2 a^2 (a^2 (3+Cos[2 θ[τ]])+4 r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2)) Sin[2 θ[τ]] φ'[τ]^2)/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^3),
θ'[0]==dθ,
θ[0]==θ0,
φ''[τ]==If[θ[τ]==0, 0, (4 (a^3 Cos[θ[τ]]^2-a r[τ]^2) r'[τ]^2+4 (a^3 Cos[θ[τ]]^2-a r[τ]^2) t'[τ]^2+4 a r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2 θ'[τ]^2-8 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) (Cot[θ[τ]] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2+a^2 r[τ] Sin[2 θ[τ]]) θ'[τ] φ'[τ]+a Sin[θ[τ]]^2 (4 r[τ] ((a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2-a^2 r[τ] Sin[θ[τ]]^2)+a^4 Sin[2 θ[τ]]^2) φ'[τ]^2+8 a t'[τ] (2 Cot[θ[τ]] r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) θ'[τ]+a (-a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2 φ'[τ])+8 r'[τ] ((a^3 Cos[θ[τ]]^2-a r[τ]^2) t'[τ]+a Cot[θ[τ]] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2) (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ] (2+r[τ])) θ'[τ]-(r[τ] (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^2+a^2 (a^2 Cos[θ[τ]]^2-r[τ]^2) Sin[θ[τ]]^2) φ'[τ]))/(4 (a^2 Cos[θ[τ]]^2+r[τ]^2)^3)],
φ'[0]==dΦ,
φ[0]==φk,
str'[τ]==vd[τ]/Max[1*^-16, Abs[Sqrt[1-vd[τ]^2]]],
str[0]==0,
vlt'[τ]==vd[τ],
vlt[0]==0
};

DGL=If[crd==1, DG1, DG2];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 8) INTEGRATION |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

sol=

NDSolve[DGL, {t, r, θ, φ, str, vlt, pr, pθ}, {τ, 0, tmax},
WorkingPrecision-> wp,
MaxSteps-> Infinity,
Method-> mta,
InterpolationOrder-> All,
StepMonitor :> (laststep=plunge; plunge=τ;
stepsize=plunge-laststep;), Method->{"EventLocator",
"Event" :> (If[stepsize<1*^-4, 0, 1])}];

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 9) KOORDINATEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

XBL[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+a^2] Sin[θ[τ]] Cos[φ[τ]]/.sol][[1]];
YBL[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+a^2] Sin[θ[τ]] Sin[φ[τ]]/.sol][[1]];
Z[τ_]:=Evaluate[r[τ] Cos[θ[τ]]/.sol][[1]];

XKS[τ_]:=Evaluate[((r[τ] Cos[φ[τ]]+a Sin[φ[τ]]) Sin[θ[τ]])/.sol][[1]];
YKS[τ_]:=Evaluate[((r[τ] Sin[φ[τ]]-a Cos[φ[τ]]) Sin[θ[τ]])/.sol][[1]];

X[τ_]:=If[crd==1, XBL[τ], XKS[τ]];
Y[τ_]:=If[crd==1, YBL[τ], YKS[τ]];

xBL[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+A^2] Sin[θ[τ]] Cos[φ[τ]]/.sol][[1]];
yBL[τ_]:=Evaluate[Sqrt[r[τ]^2+A^2] Sin[θ[τ]] Sin[φ[τ]]/.sol][[1]];
z[τ_]:=Z[τ];

xKS[τ_]:=Evaluate[((r[τ] Cos[φ[τ]]+A Sin[φ[τ]]) Sin[θ[τ]])/.sol][[1]];
yKS[τ_]:=Evaluate[((r[τ] Sin[φ[τ]]-A Cos[φ[τ]]) Sin[θ[τ]])/.sol][[1]];

x[τ_]:=If[crd==1, xBL[τ], xKS[τ]];
y[τ_]:=If[crd==1, yBL[τ], yKS[τ]];

XYZ[τ_]:=Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2+Z[τ]^2]; XY[τ_]:=Sqrt[X[τ]^2+Y[τ]^2];  (* kartesischer Radius *)

Xyz[{x_, y_, z_}, α_]:={x Cos[α]-y Sin[α], x Sin[α]+y Cos[α], z};      (* Rotationsmatrix *)
xYz[{x_, y_, z_}, β_]:={x Cos[β]+z Sin[β], y, z Cos[β]-x Sin[β]};
xyZ[{x_, y_, z_}, ψ_]:={x, y Cos[ψ]-z Sin[ψ], y Sin[ψ]+z Cos[ψ]};

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 10) PLOT EINSTELLUNGEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

PR=1.2r0;                                                                   (* Plot Range *)
VP={r0, r0, r0};                                                     (* Perspektive x,y,z *)
d1=10;                                                                    (* Schweiflänge *)
plp=50;                                                            (* Flächenplot Details *)
w1l=0; w2l=0; w1r=0; w2r=0;                                          (* Startperspektiven *)
Mrec=100; mrec=10;                                       (* Parametric Plot Subdivisionen *)
imgsize=380;                                                                 (* Bildgröße *)

s[text_]:=Style[text, FontSize->font]; font=11;                            (* Anzeigestil *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 11) PLOT NACH KOORDINATENZEIT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

display[T_]:=Grid[{
{s[" t coord"], " = ", s[n0[tk]], s["GM/c³"], s[dp]},
{If[μ==0, s[" affineP"], s[" τ propr"]], " = ", s[n0[T]], s["GM/c³"], s[dp]},
{s[" γ total"], " = ", s[n0[γ[T]-If[crd==1, 0, -2 R'[T] R[T]/Δi[T]]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" ς gravt"], " = ", s[n0[ς[T]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" r coord"], " = ", s[n0[R[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" φ longd"], " = ", s[n0[Φ[T] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" θ lattd"], " = ", s[n0[Θ[T] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" M irred"], " = ", s[n0[mirr]], s["M"], s[dp]},
{s[" L axial"], " = ", s[n0[Lz]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" Ř crc.φ"], " = ", s[n0[яi[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" Σ crc.θ"], " = ", s[n0[Sqrt[Σi[T]]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" E kinet"], " = ", s[n0[ekin[T]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E poten"], " = ", s[n0[epot[T]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E total"], " = ", s[n0[ε]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" CarterQ"], " = ", s[N[Q]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" a SpinP"], " = ", s[n0[a]], s["GM²/c"], s[dp]},
If[dsp==1, {s[" L axial"], " = ", s[n0[Lz]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" d\.b2r/dτ\.b2"], " = ",  s[n0[Evaluate[r''[T] /. sol][[1]]]], s["c⁴/G/M"], s[dp]}],
If[dsp==1, {s[" L polar"], " = ", s[n0[If[crd==1, pΘ[T], pΘks[T]]]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" d\.b2φ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Evaluate[φ''[T] /. sol][[1]]]], s["c⁶/G²/M²"], s[dp]}],
If[dsp==1, {s[" p r.mom"], " = ", s[n0[If[crd==1, pR[T], pRks[T]]]], s["mc"], s[dp]},
{s[" d\.b2θ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Evaluate[θ''[T] /. sol][[1]]]], s["c⁶/G²/M²"], s[dp]}],
{s[" R carts"], " = ", s[n0[XYZ[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" x carts"], " = ", s[n0[X[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" y carts"], " = ", s[n0[Y[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" z carts"], " = ", s[n0[Z[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" s dstnc"], " = ", s[n0[dst[T]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" ω fdrag"], " = ", s[n0[ω[T]]], s["c³/G/M"], s[dp]},
{s[" v fdrag"], " = ", s[n0[й[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" Ω fdrag"], " = ", s[n0[Ω[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v propr"], " = ", s[n0[v[T]/Sqrt[1-v[T]^2]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v obsvd"], " = ", s[n0[ß[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v escpe"], " = ", s[n0[ж[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v delay"], " = ", s[n0[sh[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v local"], " = ", s[n0[v[T]]], s["c"], s[dp]},
{s[" "], s[" "], s["                   "], s["         "]}},
Alignment-> Left, Spacings-> {0, 0}];

plot1a[{xx_, yy_, zz_, tk_, w1_, w2_}]:=                                     (* Animation *)
Show[Graphics3D[{
{PointSize[0.009], Red, Point[
Xyz[xyZ[{x[T], y[T], z[T]}, w1], w2]]}},
ImageSize-> imgsize,
PlotRange-> PR,
SphericalRegion->False,
ImagePadding-> 1],
horizons[A, None, w1, w2],
If[crd==1, If[a==0, {},
Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2]]}}]],
If[a==0, {},
Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ц0 a Ξ/χ tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ц0 a Ξ/χ tk+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2]]}}]]],
If[crd==1, If[tk==0, {}, If[a==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2],
{tt, Max[0, tk-199/100 π/ω0], tk},
PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],
If[tk==0, {}, If[a==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ц0 a Ξ/χ tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ц0 a Ξ/χ tt+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2],
{tt, Max[0, tk-199/100 π/ω0], tk},
PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]]],
If[tk==0, {},
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, 0, Max[1*^-16, T-d1/3]},
PlotStyle-> {Thickness[0.003], Gray},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
If[tk==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, Max[0, T-d1], T},
PlotStyle-> {Thickness[0.004]},
ColorFunction-> Function[{x, y, z, t},
Hue[0, 1, 0.5, Max[Min[(-T+(t+d1))/d1, 1], 0]]],
ColorFunctionScaling-> False,
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],
ViewPoint-> {xx, yy, zz}];

Quiet[Do[
Print[Rasterize[Grid[{{
plot1a[{0, -Infinity, 0, tk, w1l, w2l}],
plot1a[{0, 0, Infinity, tk, w1r, w2r}],
display[Quiet[д[tk]]]
}}, Alignment->Left]]],
{tk, 0, TMax, TMax}]]

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 12) PLOT NACH EIGENZEIT ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

display[T_]:=Grid[{
{If[μ==0, s[" affineP"], s[" τ propr"]], " = ", s[n0[tp]], s["GM/c³"], s[dp]},
{s[" t coord"], " = ", s[n0[т[tp]]], s["GM/c³"], s[dp]},
{s[" γ total"], " = ", s[n0[γ[tp]-If[crd==1, 0, -2 R'[tp] R[tp]/Δi[tp]]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" ς gravt"], " = ", s[n0[ς[tp]]], s["dt/dτ"], s[dp]},
{s[" r coord"], " = ", s[n0[R[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" φ longd"], " = ", s[n0[Φ[tp] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" θ lattd"], " = ", s[n0[Θ[tp] 180/π]], s["deg"], s[dp]},
{s[" M irred"], " = ", s[n0[mirr]], s["M"], s[dp]},
{s[" L axial"], " = ", s[n0[Lz]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" Ř crc.φ"], " = ", s[n0[яi[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" Σ crc.θ"], " = ", s[n0[Sqrt[Σi[tp]]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" E kinet"], " = ", s[n0[ekin[tp]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E poten"], " = ", s[n0[epot[tp]]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" E total"], " = ", s[n0[ε]], s["mc²"], s[dp]},
{s[" CarterQ"], " = ", s[N[Q]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" a SpinP"], " = ", s[n0[a]], s["GM²/c"], s[dp]},
If[dsp==1, {s[" L axial"], " = ", s[n0[Lz]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" d\.b2r/dτ\.b2"], " = ",  s[n0[Evaluate[r''[tp] /. sol][[1]]]], s["c⁴/G/M"], s[dp]}],
If[dsp==1, {s[" L polar"], " = ", s[n0[If[crd==1, pΘ[tp], pΘks[tp]]]], s["GMm/c"], s[dp]},
{s[" d\.b2φ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Evaluate[φ''[tp] /. sol][[1]]]], s["c⁶/G²/M²"], s[dp]}],
If[dsp==1, {s[" p r.mom"], " = ", s[n0[If[crd==1, pR[tp], pRks[tp]]]], s["mc"], s[dp]},
{s[" d\.b2θ/dτ\.b2"], " = ", s[n0[Evaluate[θ''[tp] /. sol][[1]]]], s["c⁶/G²/M²"], s[dp]}],
{s[" R carts"], " = ", s[n0[XYZ[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" x carts"], " = ", s[n0[X[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" y carts"], " = ", s[n0[Y[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" z carts"], " = ", s[n0[Z[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" s dstnc"], " = ", s[n0[dst[tp]]], s["GM/c²"], s[dp]},
{s[" ω fdrag"], " = ", s[n0[ω[tp]]], s["c³/G/M"], s[dp]},
{s[" v fdrag"], " = ", s[n0[й[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" Ω fdrag"], " = ", s[n0[Ω[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v propr"], " = ", s[n0[v[tp]/Sqrt[1-v[tp]^2]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v obsvd"], " = ", s[n0[ß[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v escpe"], " = ", s[n0[ж[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v delay"], " = ", s[n0[sh[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" v local"], " = ", s[n0[v[tp]]], s["c"], s[dp]},
{s[" "], s[" "], s["                   "], s["         "]}},
Alignment-> Left, Spacings-> {0, 0}];

plot1b[{xx_, yy_, zz_, tk_, w1_, w2_}]:=                                    (* Animation *)
Show[Graphics3D[{
{PointSize[0.009], Red, Point[
Xyz[xyZ[{x[tp], y[tp], z[tp]}, w1], w2]]}},
ImageSize-> imgsize,
PlotRange-> PR,
SphericalRegion->False,
ImagePadding-> 1],
horizons[A, None, w1, w2],
If[crd==1, If[a==0, {},
Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 т[tp]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 т[tp]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2]]}}]],
If[a==0, {},
Graphics3D[{{PointSize[0.009], Purple, Point[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ц0 a Ξ/χ т[tp]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ц0 a Ξ/χ т[tp]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2]]}}]]],
If[crd==1, If[tk==0, {}, If[a==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ω0 т[tt]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ω0 т[tt]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2],
{tt, Max[0, д[т[tp]-199/100 π/ω0]], tp},
PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> 12]]],
If[tk==0, {}, If[a==0, {},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{
Sin[-φ0-ц0 a Ξ/χ т[tt]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
Cos[-φ0-ц0 a Ξ/χ т[tt]+π/2] Sqrt[x0[A]^2+y0[A]^2],
z0[A]}, w1], w2],
{tt, Max[0, д[т[tp]-199/100 π/ω0]], tp},
PlotStyle -> {Thickness[0.001], Dashed, Purple},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> 12]]]],
If[tk==0, {},
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, 0, Max[1*^-16, tp-d1/3]},
PlotStyle-> {Thickness[0.003], Gray},
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],
If[tk==0, {},
Block[{$RecursionLimit = Mrec},
ParametricPlot3D[
Xyz[xyZ[{x[tt], y[tt], z[tt]}, w1], w2], {tt, Max[0, tp-d1], tp},
PlotStyle-> {Thickness[0.004]},
ColorFunction-> Function[{x, y, z, t},
Hue[0, 1, 0.5, Max[Min[(-tp+(t+d1))/d1, 1], 0]]],
ColorFunctionScaling-> False,
PlotPoints-> Automatic,
MaxRecursion-> mrec]]],
ViewPoint-> {xx, yy, zz}];

Quiet[Do[
Print[Rasterize[Grid[{{
plot1b[{0, -Infinity, 0, tp, w1l, w2l}],
plot1b[{0, 0, +Infinity, tp, w1r, w2r}],
display[tp]
}}, Alignment->Left]]],
{tp, 0, tMax, tMax}]]

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||| 13) EXPORTOPTIONEN |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)

(* Export als HTML Dokument *)
(* Export["dateiname.html", EvaluationNotebook[], "GraphicsOutput" -> "PNG"] *)
(* Export direkt als Bildsequenz *)
(* Do[Export["dateiname" <> ToString[tk] <> ".png", Rasterize[...]   ], {tk, 0, 10, 5}]   *)

(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||| http://kerr.yukerez.net ||||| Simon Tyran, Vienna ||||||||||||||||||| *)
(* |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||| *)