Das Prinzip des Seins

An dieser Stelle passt irgendwie die Aussage vom Physiker und Nobelpreisträger Paul Dirac auf die Frage der Kollisionsgeschwindigkeit zweier Photonen:

“600.000 km/s. Aber das ist keine echte Geschwindigkeit, sondern das sind zwei addierte Geschwindigkeiten.”

Das ist in der Tat richtig. Aber zurück zur eigentlichen Diskussion. Was meinst du denn nun, sind die beiden Aussagen
"0,(periode)5" ist nicht in [0,1]" (du) und "keine Folge enthält alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1" (Cantor) verschieden?

Für manchen Leser mag das auf den ersten Blick ähnlich klingen.
Diese Oberflächliche Formulierung meinerseits, deutet allerdings doch auf den KernPunkt hin!
Nicht daß wir uns daran jetzt verheddern!

"0,(periode)5" ist strenggenommen eine rationale Zahl.
"0,(periode)5" würde ich dann bevorzugt an die „letzte“ Stelle (m)einer Folge aller reellen Zahlen setzen; womit ja schon mal dieses WiderSpruchs-Kriterium im endlichen nicht auftaucht!

Zu "keine Folge enthält alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1" (Cantor) , würde ich argumentieren, also „eine Folge, die alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 enthält“, wird insofern construirbar sein, als man zur NICHT-Construirbarkeit keine vernünftige Logik „besitzt“.

In diesem Sinne, absolut wenig , oder unglücklich, logisch wirkt und ist Cantor's Aussage:"keine Folge enthält alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1"!

Also anders die Dynamik, die sich in die (Menge der) natürlichen Zahlen einbauen, andenken läßt, wird nicht im Ansatz dazu führen, von einer mächtigeren Mächtigkeit (der Menge) der reellen Zahlen mathematisch logisch sinnig also vernünftig zu sprechen (AusSagen zu formulieren).

Dieses Argument „Bijektion zwischen der Menge der natürlichen Zahlen und der Menge der rationalen Zahlen“ (wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument) läßt sich sinnig, falls es vorher schon sinnig war von einer Bijektion zwischen ℕ und ℚ⁺ zu schließen, aller Vermutung nach auch auf ℕ und ℝ übertragen.

Zurück genug, zur Eigentlichen?


Gruß

Was wäre das Kontinuum nach Deinem Verständnis?

Der Beschreibungsalgorythmus läßt sich auf ein Set von Natürliche Zahlen aufsetzen.
Z.B. die Nicht-Primzahlen lassen sich auf Primzahlen aufbauen.
Mächtigkeit(Menge(natürliche Zahlen))) = Mächtigkeit(Menge(primer Zahlen))) [na ja how undefined ever "Mächtigkeit" ist]

Also meiner Meinung gemäß ist die Menge ℕ ∞-Dimensional genug für ein Kontinuum.

Gruß

Sie sind also verschieden, gut. Warum tust du dann weiter oben so, alsob deine (offensichtlich unsinnge) Aussage den Beweis Cantors wiederlegt? - Riecht stark nach einem Strohmannargument.


Doch, besitzt "man". Oder kannst du einen Fehler in Cantors Beweis aufzeigen?

Ich tu nicht so!
Weil Dein (offensichtlich unsinnger) Beweis Cantors noch übler ist!

Da riechst Du wohl eher Dein eigenes Strohmannargument, wenn ich so wie Du ausnahmsweise formulier.


Offensichtlich kann ich mir einen Fehler in diesem Pseudo-Beweis aufzeigen!
In erster Linie müßte jeder selbst solche Fehler „aufzeigen“, erkennen.
Wenn Du schon nicht mal im Ansatz ahnst, daß die Binär-Darstellung mit dem Ziffer-Vertausch-Mich-Spiel von „4“ mit „5“ auf einen makabren Scherz hinweist, ist das so eine Sache ob und wie mitgedacht wird.In der Binär-Darstellung:“1“ mit „0“ vertauscht klappt wohl nicht , wenn die gesuchte Zahl unplötzlich 0,(perode)1 = 1,0 wird, oder?

Wäre freundlich und angemessen, wenn Du etwas mitdenkst, und offener fragst.
Dann bräuchte ich die Analyse dieser UnMatheMatik nicht bis ins allerkleinste aufschlüsseln.

Grundsätzlich gefragt:
Beziehst Du Dich hier im wesentlichen auf → .../wiki/Cantors_erstes_Diagonalargument
und auf → ...wiki/Cantors_zweites_Diagonalargument
als „Beweis“,
weil unterbewußt liest's sich ja „argument“
?

Gruß

Und weil der Beweis so offensichtlich unsinnig ist, fällt dir kein echtes Argument ein? Ja ne ist klar.


Wir sind wohl noch nicht ganz zum Kern der Sache durchgedrungne, macht aber nix. - Du hast den Beweis immer noch nicht verstanden. Das Ziel ist es nicht ein bestimme Zahl zu konstruieren (weder 0,55... noch 0,11...), sondern es wird zu jeder möglichen Folge von reellen Zahlen eine reelle Zahl konstruiert, die nicht in der ursprünglichen Folge enthalten ist. Es gibt auch Folgen, aus der die Zahl 0,55... erzeugt wird, aber diese sind in keiner Weise etwas besonderes. Soweit ok?

Wir sind am springenden Punkt.
Die Folgen, die die DiagonalZahl 0,55... erzeugen, sind absolut was besonderes.
Sonst müßte vermieden werden, daß diese Besonderen Zahlen beim „Trans-Mutieren“ entstünden.

Die Construction einer jeden reellen Zahl soll durch ein Prinzip absolut bestimmt sein, allgemein:
0, a₁ a₂ a₃ a₄ …
mit den „Ziffern“ bzw. nat. Zahlen a₁ usw. (aₓ).
Nur was ist mit ₓ also x?
Der Laufindex x durchläuft die Natürlichen Zahlen (1...∞...?).Oder?
Wenn Cantor stimmig wär, gäbe es ja dieses Aleph_1 (ℵ₀,ℵ₁,...).

Und die Widersprüchlichkeit würde sich jenseits von den natürlichen Zahlen mit einer Aleph_1 -Zahl als x-Wert (x∈ℵ₁) des a-Index'es x (aₓ) abspielen.Oder?

In anderen Worten, die Konsequenzen aus diesem Argumentieren nach Cantor würden rekursiv die angebliche Unstimmigkeit der nicht vorhandenen Zahl 0,55... wieder in Frage stellen.Oder?

So weit wie unbestimmt?

Gruß

Wie intensiv stehst Du hinter diesen Deinem StandPunkt?
Wie sicher „fühlst“ Du dich, bist Du Dir mit solchem „Wissen“?

Denn es klingt zu sehr nach mainstream-Mathematik, so unzufälig ver-naivt und ver-mystifiziert wie Dein ÜbersichtsSatz wirkt.

Tendenziell ein einfaches klares System, nach dem die reellen Zahlen geometrisch einem ZahlenStrahl zuzuordenen seien, die auch sauber formuliert sich aus „Elementar“-Längen (1-D-Punkten) gedacht , absolut hinreichend logisch fuinktionierende AusSagen zuläßt, würde ich bevorzugen.

Solche Halb-„Logik“-Sätze, wie Wurzel aus Zwo oder Pi₀ (2**0.5=√2=2**2**-1;Pi₀:=3.1415...) sei kein Euclid-Bruch (√2∉ℚ), liessen sich sich bis zu dem Stand-Punkt nachvollziehen, als wie mit cisfiniten Zahlen (x<∞) argumentiert wird.
Technisch oder praktisch fällt schnell auf, daß wir fascinierender Weise elegante NäherungsBrüche (aus der KettenBruch-Darstellung) einfachst gewinnen können(Pi₀≈355/113≈22/7).
Und hier beginnt erst die eigentliche Mathematik, würde ich sagen.

Auch wenn manche MatheMatik-Lehrer (oder -Lehr-Bücher) z.B. darauf hinweisen, wenn „scheinbar naiv“ folgende Reihe durchgespielt wird:
0,9 < 1 ; 0,99 < 1 ; 0,999 <1 : …. ⇒ 0,(periode)9 < 1
... ⇒ 0,(periode)9 ≠ 1
... ⇏ 0,(periode)9 = 1 !

Mit anderen Worten würde ich sagen, wir hätten es hier mit einer Oberschwingung (einem anderen FeinGefühl) an Mathematik-Verstehen zu tun.

Gruß

Sie sind nur insofern besonders, als dass diese Folgen die Zahl 0,55.. nicht enthalten. Und das ist ja genau die Basis des Beweises.


Ja. Die Darstellbarkeit der reellen Zahlen durch Decimalbrüche ist allerdings nicht Ziel des Beweises von Cantor. Das war Cantor bereits bekannt.


Nein. Der Laufindex wird nicht Aleph_0. Aleph_0 ist keine natürliche Zahl. Der Widerspruch ergibt sich aus der Tatsache, dass man zu jeder Folge von reellen Zahlen eine reelle Zahl angeben kann, die nicht in der Folge ist. Das heißt, es gibt keine Folge, die alle reellen Zahlen enthält und somit keine Bijektion zwischen den natürlichen und den reellen Zahlen.


0,55.. ist nicht "unstimmig" (was auch immer das nun in diesem Kontext heißen soll..). Das wird auch an keiner Stelle von Cantor behauptet. 0,55.. nimmt in dem Beweis auch keine Sonderstellung ein, mir ist deshalb auch nicht klar, warum du dauernd darauf herumreitest.