Das Prinzip des Seins

Bevor ich mir unnütz den Kopf zerbreche, erst mal eine kurze Zwischenfrage.

Kann ich mir das vektoriell so vorstellen? O sei der Koordinatenursprung und

@julian apostata » Sa 27. Mai 2023, 14:14

Ja das ist sinnvoll. Oder man betrachtet wirklich nur Differenzen, denn was bedeutet ein "t-Vektor"?

Gruß
Rudi Knoth

Hallo Julian:

Meine Bedenken über deine These, daß mit deinen Angaben auch jemand mit "nur" mittlerer Reife klarkommt, will ich noch mal ausführlich erläutern:

1. Ich selber bin ja vor 50 Jahren selber zur Schule gegangen. Da wurde bis zur Mittelstufe eigentlich nur die Mechanik nach Galilei/Newton vorgenommen. Ich bezweifle daher, daß etwa die Invarianz des Viererabstandes jemanden ohne Abitur etwas sagt. So kommt diese Formel etwas "vom Himmel gefallen" vor. Das kann eventuell heute anders sein, aber das müsste ich noch mal nachfragen.


2. Diese Gleichung ist für die zu bestimmenden Parameter eine quadratische Gleichung, die nicht so einfach zu lösen ist.

3. Neben dem Fall x=0,t=1 gibst du noch den Fall x=1,t=0 an. Der erste Fall ist ja die Bewegung des einen Koordinatensystems gegenüber dem anderen Koordinatensystem mit der Geschwindigkeit v. Dies ist sicherlich aus der Mechanik von Galilei/Newton jedem klar, daß sich der Punkt im System S' mit t'v bewegt hat. Aber der andere Fall ist ja die Relativität der Gleichzeitigkeit, die es in der "klassischen Mechanik" nicht gibt.

Irgendwie habe ich den Eindruck, daß du hier doch mehr Vorkenntnisse erwartest als in der Realität vorhanden sind. Aber ich kann mich auch irren.

Gruß
Rudi Knoth

Kann ich leider nicht nachvollziehen. Es geht doch erst mal nur darum, die Basisvektoren für S' zu ermitteln. Und das läuft auf 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten hinaus.

Da macht man sich am besten eine Skizze und zeichnet die Hyperbel t²-x²=1. Man braucht allerdings nur einen Hyperbelast, nämlich den oberen. Das heißt, man löst nach t auf und tritt die negative Lösung sofort in die Tonne. Dann haben wir die beiden Gleichungen.



Mit anderen Worten. Es ist der Schnittpunkt einer Geraden mit einem Hyperbelast zu ermitteln. In der Schule hat man oft Gerade und Parabel geschnitten, wobei man meistens 2 Schnittpunkte bekam. So kompliziert ist das aber hier nicht, weil es sich nur um einen Hyperbelast und damit nur eine Lösung handelt.

Durch eliminieren von x erhält man zuerst t und danach x


Beim Ermitteln des anderen Basisvektors geht man ähnlich vor


Ich wüsste nicht, was da so kompliziert sein sollte.

@julian apostata » Di 30. Mai 2023, 14:52

Zum Teil bin ich mit deinen Ausführungen einverstanden. Aber wie ist das mit meinem dritten Einwand? Der Fall, den du vorgerechnet hast, basiert auf der auch in der Galilei-Transformation vorhandenen Tatsache, daß sich innerhalb eines Zeitraums t ein fester Punkt von S sich in S' um die Strecke vt' bewegt. Aber umgekehrt sind zwei im System S gleichzeitige Ereignisse iim System S' auch gleichzeitig. Aber du nimmst wohl an, daß es eine Zeitdifferenz vx' in S' gibt Dies ist aber ohne Hinweis oder Vorkenntnisse der LT nicht so einfach ersichtlich.

Gruß
Rudi Knoth

Nachtrag zu meinem Kommentar von Gestern:

Du schreibst, daß man bei dem anderen Basisvektor analog vorgehen kann. Dies ist nach meiner Meinung nicht der Fall. Denn die Aussage t'=vx' ist nicht so selbstverständlich wie die Aussage x'=vt'. Sie ist eigentlich das Egebnis der Lorentz-Transformation. Das riecht nach einem Zirkelschluss oder "petitio prinzipe". Genauso ist dies auch schon bei der Invarianz des Viererabstandes.

Gruß
Rudi Knoth

@Rudi Knoth
Was haben also die Basisvektoren und gemeinsam? Am einfachsten ist doch, sich der Sache erst mal visuell zu nähern.

muss auf der Kurve t²-x²=1 liegen und auf der Kurve x²-t²=1.

https://www.geogebra.org/m/Bdtq7nTQ

Da mach ich mir doch erst mal keinen großen Kopf, sondern spiel einfach mal mit dem v_Schieber. Stell ich den auf 0, dann sehe ich: Die beiden Vektoren liegen auf den kartesischen Achsen.

Noch eine andere Bedingung ist: Wegen c=const muss gelten.
Wenn -=0 dann gilt auch -=0.

Das probier ich auch visuell aus, mit Hilfe der t' und x' Schienen. Und wenn ich erst mal die Sache visuell vor Augen habe, dann sehe ich auch ein Lichtlein am Ende des Tunnels und bin vielleicht eher motiviert, die Sache auch mathematisch zu verifizieren.

Und wenn man jetzt weiß, wie die Basisvektoren definiert sind, dann ist es doch nur noch ein kleiner Schritt zur Lorentztransformation und damit auch zur RdG.

Also, wenn ich in der 10.Klasse solche Hilfsmittel gehabt hätte, wie sie uns heute zur Verfügung stehen, dann hätte ich wahrscheinlich keinerlei Probleme gehabt.

@julian apostata » Mi 31. Mai 2023, 13:18

Ich glaube, daß du meinen Einwand nicht verstehst. Es ist klar für den T-Vektor, daß wegen x=0 und t= 1 folgt, daß x'=vt' ist. Denn ein Punkt in S bewegt sich im Punkt S' mit der Geschwindigkeit v, was wohl unabhängig von der Transformation ist. Ur wie sieht das bei x=1 und t=0 aus? Dann schint es mir so zu sein, daß man analog t'=vx' setzen muß. Und das ist eine Vorwegnahme der RdG. und damit keine "saubere Beweisführung". Oder täusche ich mich da?

Gruß
Rudi Knoth

Also mit der Lösung für den Fall x=0,t=1 bin ich ja einverstanden. Dazu könnte man doch mit dem "Lichtkegel-Ansatz" die Elemente der "linken Spalte" aus den schon für die "rechte Spalte" (bei dir T-Vektor genannt) bestimmen. Und dann steht die Lorentr-Transformation. Es ist ja im Prinzip nur der Sonderfall, daß der "Viererabstand" 0 ist.

Gruß
Rudi Knoth

Erste Zeile:Erster Vektor
Der lässt sich ableiten, indem ich die Gerade x=v*t mit der Eichhyperbel t=sqrt(1+x²) schneide.

Und dass auf dem Lichtkegel liegt, kann man sehen, ohne viel zu rechnen.

Zweite Zeile:
Damit wird begründet, dass für
t'²-x'²=t²-x²=1
und für
x'²-t'²=x²-t²=1
gilt.