Das Prinzip des Seins

@Harald Maurer

Ich rechne das mal der Übersicht halber in 2D vor. Ob expandierender Lichtkreis oder expandierender Gummikreis, es gilt zu jedem Zeitpunkt t in S:

x(t) = wt cos(δ)
y(t) = wt sin(δ)

Das ist die Trajektorie eines Punktes, der sich vom Ursprung aus in Richtung δ (Winkel gegenüber der x-Achse gegen den Uhrzeigersinn) mit der Geschwindigkeit w vom Ursprung entfernt. Sie gibt für jeden Zeitpunkt t an, wo sich der Punkt befindet. Nun gilt:

x²(t) + y²(t) = w²t² cos²(δ) + w²t² sin²(δ) = w²t² (cos²(δ) + sin²(δ)) = w²t²

Oder kurz:

x²(t) + y²(t) = w²t²

D.h. Punkte, die sich in welche Richtung δ auch immer bewegen, liegen auf einem Kreis.

Die Transformationsgleichungen lauten:

x'(t) = γ (x(t) - vt)
y'(t) = y(t)
t'(t) = γ (t - v/c² x(t))

Wir setzen die Trajektorie ein:

x'(t) = γ (wt cos(δ) - vt) = γt (w cos(δ) - v)
y'(t) = wt sin(δ)
t'(t) = γ (t - v/c² wt cos(δ)) = γt (1 - v/c² w cos(δ))

Der Übersicht halber noch einmal:

x'(t) = γt (w cos(δ) - v)
y'(t) = wt sin(δ)
t'(t) = γt (1 - v/c² w cos(δ))

Wir lösen die Zeitgleichung t'(t) nach t auf, um t(t') zu erhalten:

t' = γt (1 - v/c² w cos(δ))
<=>
t = t' / (γ(1 - v/c² w cos(δ)))
<=>
γt = t' / (1 - v/c² w cos(δ))

Damit erhalten wir die Trajektorie im gestrichenen System S' durch Einsetzen in die ersten beiden Transformationsgleichungen:

x'(t') = t' (w cos(δ) - v) / (1 - v/c² w cos(δ))
y'(t') = t' w/γ sin(δ) / (1 - v/c² w cos(δ))

Wir schauen uns diese Gleichungen an, und bemerken: Die Geschwindigkeit des Punktes hängt von δ ab. Nun berechnen wir x'²(t') + y'²(t'):

x'²(t') + y'²(t') = [ (w cos(δ) - v)² + (w/γ sin(δ))² ] t'² / (1 - v/c² w cos(δ))²

Wir setzen: A(v,w,δ) := [ (w cos(δ) - v)² + (w/γ sin(δ))² ] / (1 - v/c² w cos(δ))² und erhalten damit:

x'²(t') + y'²(t') = A(v,w,δ) t'²


Lichtkreis (w = c):
Im Fall eines Lichtkreises gilt w = c. Damit erhalten wir

A(v,w,δ) = A(v,c,δ) = [ (c cos(δ) - v)² + (c/γ sin(δ))² ] / (1 - v/c cos(δ))²
<=> mit 1/γ² = (1 - v²/c²)
A(v,c,δ) := [ (c cos(δ) - v)² + (1 - v²/c²) (c sin(δ))² ] / (1 - v/c cos(δ))²
<=> ausmultiplizieren
A(v,c,δ) := [ c² cos²(δ) - 2vc cos(δ) + v² + (1 - v²/c²) c² sin²(δ) ] / (1 - v/c cos(δ))²
<=>
A(v,c,δ) := [ c² cos²(δ) - 2vc cos(δ) + v² + c² sin²(δ) - v² sin²(δ) ] / (1 - v/c cos(δ))²
<=> mit c² cos²(δ) + c²sin²(δ) = c²
A(v,c,δ) := [ c² - 2vc cos(δ) + v² - v² sin²(δ) ] / (1 - v/c cos(δ))²
<=>
A(v,c,δ) := [ c² - 2vc cos(δ) + v² (1 - sin²(δ) ] / (1 - v/c cos(δ))²
<=> mit 1 - sin²(δ) = cos²(δ)
A(v,c,δ) := [ c² - 2vc cos(δ) + v² cos²(δ) ] / (1 - v/c cos(δ))²
<=>
A(v,c,δ) := (c - v cos(δ))² / (1 - v/c cos(δ))²
<=> mit c²/c² multiplizieren
A(v,c,δ) := c² (c - v cos(δ))² / (c - v cos(δ))²
<=> kürzen
A(v,c,δ) := c²

Damit ergibt sich für die Lichtsphäre :

x'²(t') + y'²(t') = A(v,w,δ) t'² = A(v,c,δ) t'² = c²t'²

Oder kurz:

x'²(t') + y'²(t') = c²t'²


Gummikreis (w < c):
Im Fall des Gummikreises lässt sich die Sache nicht so schön kürzen und A(v,w,δ) ist keine Konstante. Es gilt:

x'²(t') + y'²(t') = A(v,w,δ) t'²

mit: A(v,w,δ) = [ (w cos(δ) - v)² + (w/γ sin(δ))² ] / (1 - v/c² w cos(δ))²

Dass das eine Ellipse ergibt, wurde nicht bestritten, weshalb ich mir spare, das zu zeigen. Man rechnet dazu nicht x'²(t') + y'²(t') aus, sondern vielmehr [γ x'(t')]² + y'²(t'). Es kommt dann laut ZEbK S.903 folgendes heraus:

γ²x'²(t') + y'²(t') = w²t'²

Gruß
Faber

Quatsch. Deine Fragen wundern mich schon sehr.
Das zeigt, daß die ordentliche Transformation ala SRT einer Kugelsphäre in S wieder eine Kugelsphäre in S' ergibt. Das war hier zu beweisen.

Gruß
Ernst

Gute Bestätigung. Allerdings ist die gerade noch mal gezeigte geschlossene 3D Variante wohl doch übersichtlicher in der Rechnung. Dennoch, die Mühe hat sich gelohnt. Es zeigt sich in beiden Rechnungen, daß die Kugeloberfläche nur bei w=c entsteht und bei w<c ein Ellipsoid.
Einsteins Angaben für beide Fälle sind also richtig. Die SRT ist hier nicht widerlegt. Das Threadthema hat sich mit dessen Falsifikation erledigt.

Gruß
Ernst

Der Luftballon (w = v = 0.661c) ist dunkel dargestellt.
Das Licht (w = c) ist hell dargestellt.

Gruß
Faber

Genau.

Gruß
Faber

Was ist nur mit Dir los, daß Du ständig solchen Unsinn schreibst? Es handelt sich um eine Transformation mittels LT Wenn Du das nicht siehst, dann tut es mir Leid. Da fehlen mir dann die Worte.

Gruß
Ernst

.

Super gemacht. Meine Anerkennung für Ihre Software im Allgemeinen und diese Darstellung im Besondern.

Gruß
Ernst

Es bleibt dennoch anzumerken:

Im `bewegten' System S'(v) verschieben sich die Atome des Lufballons in negative x-Richtung. Der Luftballon hat auf der rechten Seite eine Sollbruchstelle. In einem anderen `bewegten' System S'(-v) hätte der Luftballon auf der linke Seite eine Sollbruchstelle. Wenn der Luftballon schließlich platzt, lässt sich das in bezug auf S vernünftig erklären. In bezug auf S'(v) und S'(-v) hingegen nicht.

Gruß
Faber

Ganz unnötig. Die Animation zeigt alles, was hier zur Diskussion stand.

Gruß
Ernst

Das Lorentztransformieren mußt Du noch sehr üben. Rechne einfach die galactic Variante oder die Faber Variante nach. Das schärft das Verständnis der LT und übt Grundrechenarten. Eventuell fällt ja dann der Groschen. Oder laß es dir von Faber oder galactic erklären.

Gruß
Ernst