Nutzen und Schaden der Einsteinschen ART und SRT

[Lagrange]

Die SRT behauptet, dass jeder die Uhr des anderen langsamer gehen sieht.

Die SRT sagt, der Zwilling der zur Erde zurück kehrt ist jünger, seine Uhr tickte also langsamer als die auf der Erde.

Nö, das sagt die SRT nicht, die ZD ist in der SRT symmetrisch. Jeder Zwilling ist am Ende der Reise jünger als der andere. Es existiert kein bevorzugtes Bezugssystem in der SRT.

[Harald Maurer]

Die SRT sagt, der Zwilling der zur Erde zurück kehrt ist jünger, seine Uhr tickte also langsamer als die auf der Erde.

Wie ist es möglich, dass seine Uhr langsamer tickte, wenn die Eigenzeit lt. SRT eine Invariante ist?

[Skeptiker]

Nö, das sagt die SRT nicht,

Doch, genau das sagt die SRT:

Um das Zwillingsparadoxon detailliert aus beiden Perspektiven zu berechnen, nehmen wir an, dass der reisende Zwilling mit einer konstanten Geschwindigkeit zu Alpha Centauri und zurück reist, während der bleibende Zwilling auf der Erde bleibt. Alpha Centauri ist etwa 4 Lichtjahre von der Erde entfernt.

Gegebene Werte und Annahmen

- Entfernung zu Alpha Centauri: Lichtjahre
- Reisegeschwindigkeit von : (80 % der Lichtgeschwindigkeit)
- Lichtgeschwindigkeit : Lichtjahr pro Jahr (für die Berechnung in Einheiten, in denen die Lichtgeschwindigkeit als Maßstab genutzt wird)

Wir berechnen die verstrichene Zeit aus der Perspektive beider Zwillinge.

1. Berechnung aus der Sicht des ruhenden Zwillings auf der Erde

Gesamte Reisezeit auf der Erde :

Die gesamte Reise besteht aus einem Hin- und Rückweg, wobei jeder Abschnitt Lichtjahre umfasst. Die Reisezeit auf der Erde beträgt daher:



Aus der Perspektive von Zwilling vergeht also insgesamt 10 Jahre auf der Erde, bis Zwilling zurückkehrt.

2. Berechnung aus der Sicht des reisenden Zwillings

Die Längenkontraktion ist ein weiteres Phänomen der speziellen Relativitätstheorie. Sie besagt, dass eine Strecke, die in einem ruhenden Bezugssystem gemessen wird, aus der Sicht eines bewegten Beobachters verkürzt erscheint.

Im Fall des Zwillingsparadoxons reist Zwilling mit 80 % der Lichtgeschwindigkeit zu Alpha Centauri und zurück. Die Entfernung zu Alpha Centauri beträgt im Ruhesystem der Erde Lichtjahre. Aus der Perspektive des reisenden Zwillings erscheint diese Strecke jedoch aufgrund der Längenkontraktion verkürzt.

Berechnung der Längenkontraktion

Die Formel für die Längenkontraktion lautet:



wobei:
- die kontrahierte Strecke ist, die der Reisende wahrnimmt,
- die Ruhe-Länge (die Strecke im Ruhesystem der Erde) ist, also Lichtjahre,
- die Geschwindigkeit des reisenden Zwillings ist,
- die Lichtgeschwindigkeit ist.

Schritt 1: Berechne den Lorentz-Faktor

Wir hatten bereits den Lorentz-Faktor für berechnet:



Schritt 2: Berechne die kontrahierte Länge

Da , können wir die kontrahierte Strecke folgendermaßen berechnen:



Ergebnis

Aus der Sicht des reisenden Zwillings ist die Entfernung zu Alpha Centauri aufgrund der Längenkontraktion nur 2,4 Lichtjahre.

Bedeutung

Da die kontrahierte Strecke kürzer ist, erklärt sich auch, warum Zwilling die Strecke in weniger Zeit zurücklegt als Zwilling auf der Erde dies erwartet. Der Zwilling legt in seinem bewegten Bezugssystem eine kürzere Strecke zurück und misst daher weniger verstrichene Zeit für die Hin- und Rückreise.

Fazit der Berechnungen

- Für den Zwilling auf der Erde () vergeht eine Gesamtzeit von 10 Jahren.
- Für den reisenden Zwilling () vergeht aufgrund der Längenkontraktion eine Gesamtzeit von nur 6 Jahren.

[Frau Holle]

Die SRT sagt, der Zwilling der zur Erde zurück kehrt ist jünger, seine Uhr tickte also langsamer als die auf der Erde.

Wie ist es möglich, dass seine Uhr langsamer tickte, wenn die Eigenzeit lt. SRT eine Invariante ist?

Invariant unter Lorentztransformation muss es formal korrekt heißen. Beim ZP existiert eine Zeitspanne zwischen den absoluten Ereignissen Abreise und Rückkehr. Die Dauer dieser Zeitspanne, d.h. der zeitliche Abstand zwischen den beiden Ereignissen wird von den Zwillingen mit ihren idealen Uhren unterschiedlich gemessen (ZD), genau wie der räumliche Abstand zwischen Startpunkt und Umkehrpunkt (LK).

Zwar sind die beiden Eigenzeiten invariant unter Lorentztransformation, das heißt aber nicht gleich an der Zahl in beiden Systemen. Es bedeutet nur, dass die physikalische Zeitspanne dieselbe ist, eben die zwischen den beiden absoluten Ereignissen. Wirklich gleich an der Zahl ist nur der raumzeitliche Abstand ds in der 4-dimensionalen Minkowski-Metrik mit ds² = -(dt)² + (dx)²+ (dy)²+ (dz)². Das ist eben keine euklidische Metrik, wie man unschwer am negativen Vorzeichen der Zeitkoordinaten erkennt. Solltest du eigentlich wissen, Harald Maurer.
 

[Harald Maurer]

Die Dauer dieser Zeitspanne, d.h. der zeitliche Abstand zwischen den beiden Ereignissen wird von den Zwillingen mit ihren idealen Uhren unterschiedlich gemessen (ZD), genau wie der räumliche Abstand zwischen Startpunkt und Umkehrpunkt (LK).

Das heißt also, die Uhr im Raumschiff des Reisenden tickt konkret langsamer. Wenn er da so eine Lichtuhr hat, und die saust an mir vorbei, könnte ich rein theoretisch sehen, wie das langsamere Ticken dadurch zustande kommt, dass der Lichtstrahl zwischen den Spiegeln sich im Zickzack bewegt - dabei aber dennoch nur die Geschwindigkeit c haben darf.

lichtuhr.jpg (18.1 KiB) 550-mal betrachtet

Schaut also so aus wie Abb. b)
Wie sieht der Reisende selbst seine Uhr? So wie Abb. a) ?
Und wie schnell tickt seine Uhr? Oder entspricht auch ihr Gang der ZD ebenso wie man es bei der bewegten sieht?
Das wollte ich schon immer mal fragen!

[Skeptiker]

Wie ist es möglich, dass seine Uhr langsamer tickte, wenn die Eigenzeit lt. SRT eine Invariante ist?

Das ist eine ausgezeichnete Frage und ein zentraler Punkt in der speziellen Relativitätstheorie (SRT). Tatsächlich gilt die Eigenzeit als Invariante, was bedeutet, dass die Eigenzeit entlang eines Weges für einen bestimmten Beobachter immer dieselbe ist, unabhängig von den Bezugssystemen anderer Beobachter. Lass uns genauer darauf eingehen, wie das mit der Zeitdilatation im Zwillingsparadoxon zusammenhängt.

Eigenzeit und Invarianz

Die Eigenzeit (oft mit bezeichnet) ist die Zeit, die entlang der Weltlinie eines bewegten Objekts vergeht. Sie ist für dieses Objekt die direkt gemessene Zeit und hängt ausschließlich von dessen Bewegungsweg im Raum-Zeit-Kontinuum ab. Die Eigenzeit eines Objekts ergibt sich durch Integration entlang seiner Weltlinie.

In der speziellen Relativitätstheorie ist die Eigenzeit eines Objekts:



wo:
- das Eigenzeitelement ist,
- die Geschwindigkeit des Objekts relativ zu einem anderen Bezugssystem ist,
- die Lichtgeschwindigkeit ist,
- die Zeit im Bezugssystem ist, in dem sich das Objekt bewegt.

Die Gesamt-Eigenzeit entlang einer Reise ist dann:



Anwendung auf das Zwillingsparadoxon

Im Zwillingsparadoxon vergehen unterschiedliche Eigenzeiten für die Zwillinge, weil sie unterschiedliche Weltlinien durchlaufen und somit unterschiedliche Wege im Raum-Zeit-Kontinuum nehmen.

- Zwilling auf der Erde** bleibt in einem konstanten Inertialsystem. Für ihn vergeht eine Eigenzeit von 10 Jahren (in unserem Beispiel).
- Zwilling (Reisender)** wechselt das Inertialsystem, wenn er umkehrt. Für ihn vergeht eine Eigenzeit von 6 Jahren. Das liegt daran, dass er mit einer hohen Geschwindigkeit reist und deshalb während seiner Bewegung eine geringere Eigenzeit ansammelt.

Warum tickt die Uhr des Reisenden "langsamer"?

Wenn wir sagen, dass die Uhr des reisenden Zwillings "langsamer tickt", meinen wir dies aus der Sicht des ruhenden Zwillings auf der Erde. Das heißt, Zwilling sieht die Uhr von langsamer ablaufen, während sich von der Erde entfernt und zu ihr zurückkehrt. Diese Wahrnehmung ist eine Folge der Zeitdilatation, die für ein Objekt in Bewegung relativ zu einem ruhenden Beobachter auftritt.

Aus Sicht von selbst läuft seine eigene Uhr jedoch völlig normal, was genau der Invarianz der Eigenzeit entspricht: Für vergeht Zeit in seinem eigenen Bezugssystem wie üblich, unabhängig davon, was ein externer Beobachter sieht. In seinem Rahmen misst er genau 6 Jahre Eigenzeit entlang seiner Weltlinie, was mit seiner wahrgenommenen Realität übereinstimmt.

Lösung des scheinbaren Widerspruchs

Die scheinbare Diskrepanz entsteht also nicht dadurch, dass die Eigenzeit des Reisenden "langsamer" wäre. Vielmehr ist es die Zeitdilatation zwischen verschiedenen Bezugssystemen, die diesen Effekt erzeugt:

- Die Eigenzeit des ruhenden Zwillings beträgt 10 Jahre.
- Die Eigenzeit des reisenden Zwillings beträgt 6 Jahre.

Da beide Zwillinge unterschiedliche Weltlinien und damit unterschiedliche Eigenzeiten haben, gibt es keinen Widerspruch zur Invarianz der Eigenzeit: Die Eigenzeit beschreibt die Zeit, die jeweils für die eigene Reise gemessen wird. Unterschiedliche Weltlinien (aufgrund der unterschiedlichen Bewegungen) führen zu unterschiedlichen Eigenzeiten, die jedoch in beiden Fällen invariant sind und nicht "langsamer" oder "schneller" ablaufen.

Zusammengefasst

1. Eigenzeit ist invariant: Jeder Zwilling misst seine eigene Eigenzeit entlang seiner Weltlinie, und diese Zeit bleibt für ihn invariant.
2. Zeitdilatation ist relativ: Die Zeitdilatation ist eine Beobachtung, die nur in Bezug auf den anderen Zwilling gemacht wird.
3. Unterschiedliche Weltlinien: Da die Zwillinge unterschiedliche Pfade im Raum-Zeit-Kontinuum (Weltlinien) zurücklegen, haben sie auch unterschiedliche Eigenzeiten, was die unterschiedlichen Altersangaben am Ende der Reise erklärt.

Durch diese Punkte erklärt sich, warum die Uhr des reisenden Zwillings "langsamer tickt" aus der Sicht des bleibenden Zwillings, ohne die Invarianz der Eigenzeit zu verletzen.

[Skeptiker]

Wie sieht der Reisende selbst seine Uhr? So wie Abb. a) ?
Und wie schnell tickt seine Uhr? Oder entspricht auch ihr Gang der ZD ebenso wie man es bei der bewegten sieht?
Das wollte ich schon immer mal fragen!

Natürlich sieht er seine Uhr wie in Abb. a), wie sonst und natürlich geht die für ihn ganz normal, wie sonst. Und das fragst du nach 80 Jahren zum ersten Mal, bzw. ist dir nicht klar?

[Lagrange]

Nö, das sagt die SRT nicht,

Doch, genau das sagt die SRT:

Um das Zwillingsparadoxon detailliert aus beiden Perspektiven zu berechnen...

Du musst den ruhenden Zwilling als bewegt betrachten, wenn du aus beiden Perspektiven rechnen willst. So rechnest du nur aus einer Perspektive.

[Lagrange]

...
3. Unterschiedliche Weltlinien: Da die Zwillinge unterschiedliche Pfade im Raum-Zeit-Kontinuum (Weltlinien) zurücklegen, haben sie auch unterschiedliche Eigenzeiten, was die unterschiedlichen Altersangaben am Ende der Reise erklärt.
...

Das ist Blödsinn, die Weltlinien sind eine Frage der Perspektive. Jeder sieht die Uhr des anderen langsamer laufen.

[Skeptiker]

So rechnest du nur aus einer Perspektive.

Es sind beide Perspektiven berücksichtig.