Das Prinzip des Seins

Die Darstellung der Szene in G ist vorgegeben. Jeder Körper wird durch eine Menge von Punkten (Vertizes) dargestellt. Zwischen den Punkten werden dann im Bild u.U. auch noch Linien gemalt, wobei genügend Vertizes vorhanden sind, so dass die Linien kurz sind. Die Koordinaten der Punkte sind jeweils stetig differenzierbare Funktionen der Zeit. Die Darstellung derselben Szene in G' wird per Galilei-Transformation daraus errechnet. Die einsteinische Szene in E wird mit Ihrem Verfahren errechnet, auf Basis der Ruhegeometrien und Geschwindigkeiten aus G. Die Darstellung derselben Szene in E' wird per Lorentztransformation aus E errechnet.

Das Resultat sieht meist passabel aus. Das Wachsen des Radius etwa beim rotierenden Speichenrad irritiert aber. Die Ursache hierfür liegt möglicherweise darin begründet, dass die Transformation alleine von der Geschwindigkeit in Bewegungsrichtung und damit indirekt alleine von der Beschleunigung in Bewegungsrichtung abhängt. Eine Querbeschleunigung, senkrecht zur Bewegungsrichtung, ändert den Betrag der Geschwindigkeit nicht, nur die Richtung. Zwei Vertizes am selben Ort mit derselben Geschwindigkeit werden gleich behandelt, auch dann wenn der eine querbeschleunigt ist, der andere aber nicht. Die Vertizes eines gleichförmig rotierenden Rades sind nun aber allesamt ausschließlich querbeschleunigt.

Es wäre also von Interesse, die Querbeschleunigung in den Formeln irgendwie zu berücksichtigen. Ein heuristischer Ansatz könnte wie folgt aussehen: Zum Geschwindigkeitsvektor p'(t) = [ x'(t) ; y'(t) ; z'(t) ] der Vertizes (Strich sei Ableitung nach der Zeit) wird eine dazu senkrechte `Quergeschwindigkeit' addiert, die proportional zur tatsächlichen Querbeschleunigung ist. Solange die Quergeschwindigkeit klein ist, bewirkt sie im wesentlichen, dass der Geschwindigkeitsvektor leicht in Richtung der Querbeschleunigung gedreht wird. Das müsste dem Wachstum des rotierenden Rades Einhalt gebieten. Als Proportionalitätsfaktor böte sich |p'(t)| / |p''(t)| an. Dieser Faktor ist das aktuelle Verhältnis von Geschwindigkeit zu Beschleunigung. Seine Einheit ist `Sekunde'. Multipliziert man die Querbeschleunigung damit, erhält man einen Vektor mit der Einheit `Meter pro Sekunde'.

Ich habe das mal ausprobiert. Das rotierende Speichenrad schrumpft dann, die Speichen verbiegen sich wie bisher. Das Schrumpfen ist logischer, da wir ja Kontraktion und nicht Expansion erwarten.

Das ist aber nur ein heuristischer Ansatz. Gebraucht wird ein mathematisch sauberer und einleuchtender Ansatz, der strikt die Gebote der SRT umsetzt und dabei möglicherweise die Querbeschleunigung berücksichtigen muss. Sie hatten doch vor dem jüngsten Vorschlag mit Beschleunigungen angesetzt. Könnten Sie das nicht bitte nocheinmal ausführlicher und detaillierter erklären!?

Gruß
Faber

Im Ansatz würde ich entsprechend Ihrer Verfahrensweise ausgehen. Nur würde ich aus dem momentanen Ruhesystem ins aktuelle bewegte System nicht direkt die Koordinaten transformieren, sondern bei der Transformation die momentane Geschwindigkeit und Beschleunigung der Punkte mit berücksichtigen (r - Ruhesystem):

Bestimmung von x , y, u_x, u_y. a_x, a_y im momentanen Ruhesystem
Transformation nach x' , y', u_x', u_y', a_x', a_y' im momentanen bewegten System (bezüglich t')

Nächsten Punk im Ruhesystem bestimmen
x1r = a_x_r * t²/2 + u_x_r * t + x_r
y1r = a_y_r * t²/2 + u_y_r * t + y_r

Nächsten Punkt im bewegten System bestimmen
x1r' = a_x_r' * t²/2 + u_x_r' * t + x_r'
y1r' = a_y_r' * t²/2 + u_y_r * t' + y_r'

Man hätte dann korrekt alle Effekte berücksichtigt. Das wird aber extrem komplex.
Ist aber lediglich so angedacht.

Gruß
Ernst

@Ernst

Ich habe mal ein paar Varianten unter Einsatz der Beschleunigung ausprobiert, aber ich bekomme da nichts Gescheites heraus.

Je mehr ich über die Sache nachdenke, desto mehr gewinne ich den Eindruck, dass unser Ansatz, den Körper zu jedem Zeitpunkt t ganz normal per Lorentztransformation aus seinem kurzfristigen Ruhesystem ins Bild zu transformieren, vollständig den Forderungen der SRT entspricht.

Das einzige, was irritiert, ist die Expansion des rotierenden Rades. Warum aber diskutiert die Fachwelt beim Ehrenfest-Paradoxon über Kontraktion des Umfangs bei gleichbleibendem Radius? Weil man eine Kontraktion in Bewegungsrichtung, also in tangentialer Richtung erwartet und keine in radialer Richtung. Ist es aber richtig, auch bei Querbeschleunigung eine Kontraktion in Bewegungsrichtung zu erwarten?

Bei beschleunigten Bewegungen tritt allgemein entweder eine Kontraktion auf oder eine Expansion. Dabei kommt es darauf an, ob der Geschwindigkeitsvektor länger oder kürzer wird - so die herkömmliche Vorstellung. Was aber ist mit Querbeschleunigungen, die nur die Richtung des Geschwindigkeitsvektors ändern, nicht aber den Betrag? Dazu lässt sich ad hoc spekulieren: Der Geschwindigkeitsvektor bleibt zwar gleich lang, in der ursprünglichen Bewegungsrichtung aber wird er dabei verkürzt. Um gleich lang zu bleiben, wird die Komponente in Bewegungsrichtung verkürzt und eine Komponente senkrecht dazu kommt hinzu. Das bedeutet, dass der Körper in Bewegungsrichtung länger wird. Bei einer Rotation bremst der Körper also dauernd in Bewegungsrichtung und wird deswegen in Bewegungsrichtung immer länger. Nun bleibt die Frage, was mit der Bewegungsänderung in radialer Richtung ist. Bei einem endlichen Geschwindigkeitsvektor, dessen Länge geändert wird, kann man eindeutig von Zunahme oder Abnahme der Länge reden. Bei einem verschwindenden Geschwindigkeitsvektor, dessen verschwindende Länge geändert wird, ist das je nach Betrachtungsweise u.U. schwieriger. Passend wäre natürlich, hier auch von einer Bremsung reden zu können, dann wäre die Animation des rotierenden Speichenrades bereits ganz gut erklärt.

Diese Betrachtung ist ziemlich unausgegoren. Man kann auch nicht einfach die Kontraktion in zwei orthogonalen Richtungen aufspalten, da sie nichtlinear ist. Fest steht aber, dass die Effekte beim rotierenden Speichenrad allein Resultat unseres Ansatzes sind, der gemäß den Regeln der SRT mittels Lorentztransformation den Zusammenhang zwischen der zeitabhängigen Geometrie eines beschleunigt bewegten Körpers K und der Ruhegeometrie desselben Körpers K herstellt.

Ich werde mal die Herleitung der Lorentzkontraktion studieren und schauen, ob man nicht auch Effekte für Querbeschleunigung mathematisch sauber herleiten kann. Das muss ja schließlich gehen, wenn die bloße Anwendung der Lorentztransformation in den Animationen diese Effekte produziert. Die Berechnungsmethode ist schließlich dergestalt, dass jegliche Fehlerfortpflanzung ausgeschlossen ist.

Gruß
Faber

scaenaSRT-1.12/function.zip

Die Kommentare sind u.U. nicht korrekt. Zur Anwendung siehe etwa Function.ramp(double). Enthält auch Nullstellenbestimmung und numerische Integration gemäß org.apache.commons.math.analysis.integration. Die Datei Tests.java ggf. einfach entfernen, falls kein junit.jar vorhanden.

Gruß
Faber

Die Geschichte ist ja auch dermaßen komplex, daß sie so einfach nicht zu packen sein wird.


Da bin ich etwas skeptisch. Ich denke da an die Transformation einer Lichtsphäre, die ja bei Verwendung kurzfristiger Ruhesysteme Ellipsoide ergibt und erst bei Berücksichtigung der Bewegung wieder Kugelsphären. Was liefert denn eigentilch Ihre jetztige Programmversion bei der Expansion einer Kreissphäre mit c und einer mit v<c?

Gruß
Ernst

Naja, ich hätte mal ne dumme Frage.
Was soll denn die Transformation eigentlich bringen.
Soll sie zeigen wies an dem -anderem- Orte aussieht oder wies ein Beobachter sieht wies dort aussieht/sehen würde.

Gruss Kurt

Ja, gut, aber nachdem die grundlegenden Operationen bereits in halbwegs gut strukturierte und funktionierende Software gegossen sind, und eine Serie von Szenen bereits konfiguriert ist, lassen sich Varianten übersichtlich ausprobieren. Die Methode, die aus einem Vertex der vorgegebenen galileisch bewegten Ruhegeometrie einen Vertex für das Zielsystem errechnet, hat nur 30 Zeilen. Die Versuche ergeben übrigens teils nette Bilder, die so aussehen, als handelte es sich um Projektionen merkwürdiger Lösungen in nicht-euklidischen Räumen.



Im Prinzip dasselbe wie von Anfang an. Die Animation dazu ist im Eingangsbeitrag dieses Strangs verlinkt. Ist zwar V1.11, V1.12 liefert aber dasselbe. Nur die Struktur der Software und kleinere Designangelegenheiten wurden seitdem geändert, nicht die Art und Weise der Berechnung. Alle Animationen dort arbeiten nach unserem Ansatz. Er liefert das bekannte Ergebnis für Luftballon und Lichtsphäre.

Gruß
Faber

Sie liefert die Darstellung eines gemäß den Regeln der SRT bewegten Körpers in einem Inertialsystem. Eines Körpers, dessen Ruhegeometrie sich bei Beschleunigung verformt. Ein Beobachter, der in demselben Inertialsystem ruht, sieht je nach Blickwinkel irgendeine Projektion derselben Beschreibung - sofern die SRT die Wirklichkeit korrekt beschreibt.

Gruß
Faber

Danke, das muss ich erst zerlegen und verdauen.



Diese Transformation liefert also die Ergebnisse, nein Darstellung die laut SRT-Vorstellungen sich so ergeben.



Es geht also nicht um einen unbewegten Körper.
Dieser Körper bewegt sich in einem IS, in einem -Umfeld- dass frei von irgendwelchen Kräften ist und als Bezuggrundlage dient.
Spielt die beschleunigte Bewegung da eine Rolle oder ist die nicht vorgesehen/aussen vorgelassen?



Diesere Satz beantwortet eigentlich schon meine Frage, es geht auch um beschleunigte Bewegung.
Aber da taucht eine neue auf.
Ist die Darstellung des unbeschleunigten, sich bewegenden Körpers, unverformt?



OK, das dürfte verstanden sein.
Deine Animationen zeigen die "ideale" Sicht des Beobachters.
Keine im-winkel-Seherei, alles infinestimal.



Und darum geht das Gespräch.


Gruss Kurt

Die Situation ist folgende: Die Ruhegeometrie eines Körpers ist durch die Koordinaten einiger Eckpunkte des Körpers im Raum gegeben. Wird der Körper nun bewegt, d.h. beschleunigt, dann kann man gemäß der galileischen Bewegungslehre einfach zu allen gegebenen Ruhekoordinaten denselben zeitabhängigen Offset hinzuaddieren, um die Koordinaten des bewegten Körpers zu irgendeinem Zeitpunkt zu erhalten, denn der Körper bleibt trotz Bewegung starr. Im Fall der einsteinischen Bewegungslehre (SRT) bleibt der Körper nicht starr. Die Geometrie des Körpers in Bewegung ist nicht kongruent zur Ruhegeometrie. Das Stichwort hierzu lautet Lorentzkontraktion.



Die typischen Standardfälle, von denen in vielerlei Betrachtungen und Gedankenexperimenten im Zusammenhang mit der SRT die Rede ist, betreffen ruhende oder gleichförmig geradlinig bewegte Körper. Hier geht es um beliebige stetige, glatte Bewegungen im Raum, bzw. im Zusammenhang mit den 2D-Animationen in der Ebene. Da es jeweils um den Zusammenhang zwischen der Ruhegeometrie eines Körpers und der Geometrie desselben Körpers in Bewegung geht, sind besonders Bewegungsabläufe von Interesse, bei denen der Körper zunächst ruht und später dann beschleunigt wird.


Der Begriff `unverformt' ist hier exakt definiert. Er bedeutet, dass die Geometrie des Körpers mit der Ruhegeometrie des Körpers übereinstimmt. Die Ruhegeometrie des Körpers ist durch die Koordinaten des Körpers in einem Inertialsystem gegeben, in dem der Körper ruht. Ein solches Inertialsystem wird auch als ein Ruhesystem des Körpers bezeichnet. Ein Körper besitzt eine ganze Klasse von Ruhesystemen, die gegeneinander verschoben oder verdreht sind, nicht aber gegeneinander bewegt sind. Darauf gehe ich jetzt aber nicht weiter ein.

Zur neu auftauchenden Frage: Die Darstellung des unbeschleunigt bewegten Körpers ist unverformt, wenn sie auf ein Ruhesystem des Körpers bezogen ist, ansonsten ist sie verformt. Wegen der unbeschleunigten Bewegung ist die Verformung aber zeitunabhängig.



Ich denke, Sie haben das verstanden. Im Zusammenhang mit der SRT ist oft die Rede von Beobachtern, die angeblich dies oder jenes sehen. Das ist fast immer irreführend. Zum einen sehen Beobachter, die in ein und demselben Bezugssystem ruhen i.a. Unterschiedliches, zum anderen impliziert Sehen Licht und damit zeitliche Verzögerungen. Zwischen der Darstellung einer Szene, die sich in der Wirklichkeit abspielt, in bezug auf ein Inertialsystem und dem, was ein Beobachter sieht, der in demselben Inertialsystem ruht, bestehen Zusammenhänge, die noch komplizierter sind, als die Zusammenhänge zwischen zwei Darstellungen derselben Szene in zwei gegeneinander bewegten Inertialsystemen. Zu den Lichtlaufzeiten kommen Projektionen hinzu.



Es geht ersteinmal genauer darum, die Vorhersagen der SRT zu kinematischen Vorgängen korrekt darzustellen. Hoffentlich sind dann allerlei Schlüsse daraus nicht langweilig.

Gruß
Faber