Hilberts Hotel und Gabriels Horn

[rmw]

Wenn man für unendlich den Begriff beliebig groß verwendet ist es keine Erkenntnis.

Man hat sich halt auf unendlich geeinigt um das zu bezeichnen. Ist doch kein Problem.

Nein, es ist kein Problem.
Aber mit Hilberts Hotel ist auch keine Erkenntnis vebunden.

[Skeptiker]

Nein, es ist kein Problem.
Aber mit Hilberts Hotel ist auch keine Erkenntnis vebunden.

Es ist halt ein Beispiel um die Besonderheiten der Unendlichkeiten zu veranschaulichen.

[rmw]

Nein, es ist kein Problem.
Aber mit Hilberts Hotel ist auch keine Erkenntnis vebunden.

Es ist halt ein Beispiel um die Besonderheiten der Unendlichkeiten zu veranschaulichen.

Besonderheiten sind da aber überhaupt nicht.

[Skeptiker]

Besonderheiten sind da aber überhaupt nicht.

Na klar, Unendlich plus Unendlich ist halt nich 2x Unendlich, sondern immer noch nur Unendlich.

[bumbumpeng]

"Unendlich viele" Personen sind.
Unendlich wird in dem Fall so behandelt als ob es eine bestimmte Zahl wäre, es waren aber vorher sehr viele und nachher auch, nachher um 1 Person mehr.

Man, man, man, rmw,, Welch ein unendlicher Schachsinn, den du da zusammen reimst.

UNENDLICH ist in der Physik nicht definiert. Das gibt es nicht in der Physik.

Im Universum ist alles endlich, außer die eingesteinte Dummheit, die ist unendlich!!!

[Frau Holle]

Besonderheiten sind da aber überhaupt nicht.

Na klar, Unendlich plus Unendlich ist halt nich 2x Unendlich, sondern immer noch nur Unendlich.

@rmw:
Es gibt z.B. unendlich viele gerade Zahlen und auch unendlich viele ungerade Zahlen. Von der Menge her sind es zusammen unendlich viele natürliche Zahlen. Das ist sehr wohl etwas Besonderes. Man nennt das "abzählbar unendlich".

Unendlichkeiten sind in der Mathematik unverzichtbar. Ohne sie kann man viele Beweise nicht führen, z.B. gilt mit unendlich vielen Summanden exakt

Physikalisch gibt es solche Unendlichkeit zwar nicht exakt, aber immerhin näherungsweise. Man kann z.B. auf eine Seite der Balkenwaage 1 kg legen und auf die andere Seite 1/2 kg und noch ein 1/4 kg dazu und noch ein 1/8 kg usw.

Legt man ausreichend viele solcher kleineren Gewichte dazu, dann wird die Waage ein Gleichgewicht anzeigen, denn der Unterschied zu exakt 1 kg wird zunehmend winziger, so dass er bald nicht mehr erkennbar ist. Egal wie viele solche kleineren Gewichte man dazu legt (also beliebig viele), zusammen können sie niemals mehr als 1 kg wiegen. Das ist mathematisch beweisen und die Natur verhält sich nachprüfbar auch so.

Ist ja auch anschaulich ohne Rechnerei ganz logisch: Man teilt ein Kilo in zwei halbe und legt eine Hälfte drauf, vom Rest wieder die Hälfte usw., bis das ganze Kilo zerteilt und dazugelegt ist. Mehr kann man insgesamt nicht drauf legen als das ursprünglich unzerteilte Kilo.
  

[rmw]

Besonderheiten sind da aber überhaupt nicht.

Na klar, Unendlich plus Unendlich ist halt nich 2x Unendlich, sondern immer noch nur Unendlich.

Unendlichkeiten sind in der Mathematik unverzichtbar. Ohne sie kann man viele Beweise nicht führen, z.B. gilt mit unendlich vielen Summanden exakt

Na ja, beliebige Annäherung an einen Grenzwert mit einer beliebig großen Zahl von Summanden.
Unendlich heißt eigentlich beliebig groß oder beliebig oft.

Hilberts Hotel wird oft als eine Erkenntnis dargestellt, nur wo die Erkenntnis liegen soll sehe ich wirklich nicht.
Wenn man zu einer beliebig großen Zahl eine andere Zahl dazu addiert dann hat man wieder eine beliebig große Zahl.
Mehr sagt Hilberts Hotel eigentlich nicht.

[Frau Holle]

Hilberts Hotel wird oft als eine Erkenntnis dargestellt, nur wo die Erkenntnis liegen soll sehe ich wirklich nicht.
Wenn man zu einer beliebig großen Zahl eine andere Zahl dazu addiert dann hat man wieder eine beliebig große Zahl.
Mehr sagt Hilberts Hotel eigentlich nicht.

Auch einfache Erkenntnisse sind Erkenntnisse. Gerade die einfachsten sind die wichtigsten, die leider allzu oft übersehen werden, anscheinend auch von dir:

Unendlich wird in dem Fall so behandelt als ob es eine bestimmte Zahl wäre, es waren aber vorher sehr viele und nachher auch, nachher um 1 Person mehr.

Es ist nachher eben nicht eine Person mehr, was eine um 1 größere Personenmenge bedeuten würde. Die sog. Mächtigkeit der Personenmenge bleibt aber gleich und wird nicht größer. Es sind nach wie vor "abzählbar unendlich" viele.

Hilberts Hotel zeigt anschaulich, dass der Ausdruck ∞+1 unsinnig ist. Man kann zur Unendlichkeit keine Zahl addieren und als Ergebnis eine um 1 größere Menge erhalten. Nur zwei Zahlen kann man sinnvoll addieren, und ∞ ist nun mal keine Zahl.

Genau das ist die Erkenntnis, dass so etwas Unsinn ist und eben keine gültige Rechnung. Das ist auch schon alles. Es ist eine Erkenntnis, in der Mathematik sogar eine bedeutende.

Außer so einer abzählbar unendlichen Menge gibt es auch sog. überabzählbar unendliche: Zum Beispiel gibt es nachweislich mehr reelle Zahlen als natürliche Zahlen. Unendlich viele jeweils, aber trotzdem mehr reelle. Klingt komisch, ist aber so.
 

[Skeptiker]

Wenn man zu einer beliebig großen Zahl eine andere Zahl dazu addiert dann hat man wieder eine beliebig große Zahl.
Mehr sagt Hilberts Hotel eigentlich nicht.

Eine beliebig große Zahl ist aber nicht unendlich.

[rmw]

Unendlich wird in dem Fall so behandelt als ob es eine bestimmte Zahl wäre, es waren aber vorher sehr viele und nachher auch, nachher um 1 Person mehr.

Es ist nachher eben nicht eine Person mehr, was eine um 1 größere Personenmenge bedeuten würde. Die sog. Mächtigkeit der Personenmenge bleibt aber gleich und wird nicht größer. Es sind nach wie vor "abzählbar unendlich" viele.

Dann ist Unendlich ganz einfach eine sinnfreie Definition.