Das Prinzip des Seins

Wie weiß man, wer sich bewegt und wer nicht?

Gute Frage. Aber woher wissen die beiden zueinander bewegten Objekte, dass sie für ihre Bewegung zueinander die selben Werte ermitteln? Sie könnten sie sich ja mal gegenseitig zusenden und der, dessen Geschwindigkeit niedriger ausfällt, ist absolut langsamer bewegt oder ruht gar.

Wie sollen sie ihre Eigengeschwindigkeit messen? So wie "Eigenzeit"?

Verstehe ich nicht.
Es gibt zwei Bezugssysteme, die sich irgendwie zueinander bewegen.
Ein Objekt mit Ort und die Zeit wird von einem Bezugssystem in den Koordinaten (x,y,z,t) angegeben,
vom anderem Bezugssystem das selbe Objekt in den Koordinaten (x',y',z',t').
Eine Transformation ist nur die Rechenvorschrift, wie man von den einen Koordinaten (x,y,z,t) diesen Objekts über die bekannte Anordnungsbeziehung der Bezugssystemen zueinander auf die Koordinaten des anderen Bezugssystemen (x',y',z',t') schließen kann.
Wenn man jetzt eine konstante Lichtgeschwindigkeit annimmt, dann kommt man auf eine Transformationsvorschrift, die nach Lorentz benannt ist.
Physikalisch wird da also überhaupt nichts geändert.
Du siehst, deine Fragen sind etwas merkwürdig und lassen sich so nicht beantworten.

Nur dass die Zeit beider Uhren langsamer vergeht. Wie soll das gehen?

Kann man. Sogar noch deutlich langsamere Geschwindigkeiten.
Doch, nur anders als du dir das vorstellst. Man kann z.B. Elementarteilchen nehmen, deren Zerfallszeiten (Halbwertszeit, mittlere Lebensdauer) bekannt sind. Wenn jetzt in Linearbeschleunigern die Zerfallszeiten von beschleunigten Elementarteilchen misst, dann ist die Zerfallszeit deutlich länger und zwar nach den Vorhersagen der RT.
Auch das ist auch so nicht richtig. Man kann messen, wie viele instabile Elementarteilchen in welche Entfernung zur Strahlungsquelle noch vorhanden sind. Wenn man die Geschwindigkeit v kennt, dann kennt man auch die Entfernung.

Wirklich? Und wenn du dich bewegst zerfallen sie langsamer oder wie?

Nun, gar nicht. Es wird lokal jeweils eine Zeit t gemessen, in denen sich ein Objekt S über eine Strecke l bewegt v=s/t. Ebenso wie man ohne Vergleich nicht darauf kommt, dass Uhren unterschiedlich gehen, kommt man auch nicht darauf, dass die mit diesen Uhren bestimmten Geschwindigkeiten unterschiedlich sind. Aber man kann feststellen, dass die Strecken in beiden Systemen von der dieser Art Zeitdilatation nicht betroffen sind. Einfach mal die Länge der Objekte ruhend zu den Objekten mit Maßstäben unabhängig von deren Bewegungszustand messen - die ändert sich ja nicht.

Und wie soll l im Vakuum gemessen werden? Weit und breit nichts zu sehen!

Keine Ahnung, woher du deine Informationen hast, aber sie stimmen nicht:
Erstens kann man mittlerweile bei noch kleineren Geschwindigkeiten relativistische Effekte nachweisen. H&K ist ja nun x-fach wiederholt worden.
Geschwindigkeiten sind im übrigen bis knapp 1c möglich und technisch kein Problem.